Bestimmen sie die stammfunktion ( lk aufgabe)

Question

Aufgabe:

Also ich hänge an folgender Aufgabe fest.
Der Graph einer Stammfunktion F zu f:x→ x³ hat in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die orthogonal zueinander sind. Bestimmen sie F

Also F allgemein zu bestimmen ist für mich kein Problem; das wäre F=14x4
Jedoch verwirrt mich der Teil mit den Schnittpunkten an der x-Achse und den orthogonalen Tangenten sehr. Ich bitte um Hilfe

Problem/Ansatz:

Comments

Allgemeiner Ansatz: \(F(x)=\frac14x^4+c\) mit einer noch zu bestimmenden Konstante \(c\).

Answer 1

Hallo,

es gilt \(\int x^3 \, dx=\frac{1}{4}x^4+C\).Damit \(F\) Nullstellen \(x_1,x_2\) besitzt, muss \(C<0\) sein. Weiter muss \(f(x_1)\cdot f(x_2)=-1\) gelten.

Für \(C<0\) kriegst du als reelle Lösungen:

\(x_1=\sqrt{2}\cdot C^{1/4}\)

\(x_2=-\sqrt{2}\cdot C^{1/4}\)

Also:

\(f(x_1)\cdot f(x_2)=(\sqrt{2}\cdot C^{1/4})^3\cdot (-\sqrt{2}\cdot C^{1/4})^3=-8C^{3/2}\overset{!}=-1\).

Aus dieser Gleichung folgt, dass \(C=-\frac{1}{4}\).

Comments

Was haben sie als nullstelle rausbekommen . Ich habe alles gleichgesetzt mein problem ist wie ich das ausmultiplizieren soll.

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Für \(C<0\) kriegst du als reelle Lösungen:

\(x_1=\sqrt{2}\cdot C^{1/4}\)

\(x_2=-\sqrt{2}\cdot C^{1/4}\)

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Das habe ich aber so nicht raus . Ich habe als nullstelle

x= (4c)^(1÷4)

x2=  - (4c)^(1÷4)

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Dies sind die gleichen Nullstellen.

Beachte, dass \((4C)^{1/4}=4^{1/4}\cdot C^{1/4}=\sqrt{2}\cdot C^{1/4}\).

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Warum "\(f(x_1)\cdot f(x_2)=-1\)" kannst du hier nachlesen:

https://www.mathematik-oberstufe.de/analysis/lin/gerade2d-orthogonal.html

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Warum ist denn \(\pm\sqrt2\cdot C^{1/4}\) reell, wenn \(C<0\) ist?

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Hast recht, ich hätte (-C)^(1/4) schreiben müssen.

Das C<0 bezieht sich darauf, dass 1/4*x^4+C=0 nur dann zwei Nullstellen besitzt.

Answer 2

Du hast bereits bei der Stammfunktion die Integrationskonstante c vergessen. Damit hat deine Funktion auch immer nur eine Nullstelle.

f(x) = x^3

F(x) = 0.25·x^4 + c = 0 --> x = ± (-4c)^(1/4)

f((-4·c)^(1/4)) = (-4·c)^(3/4) = 1 --> c = -0.25

Skizze

~plot~ 0.25x^4-0.25;(x-1);-(x + 1);[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Comments

Man sollte dieser Antwort wohl noch den Zusatz "aus Symmetriegründen" hinzufügen.

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Richtig. Obwohl ich denke das man weiß, dass x^3 punktsymmetrisch ist und damit jede Stammfunktion auch achsensymmetrisch ist.

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Wie kommen sie darauf das die steigung 1 ist

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Die Nullstellen liegen symmetrisch zur y-Achse

die Steigungen sind Punktsymmetrisch

also wenn der Graph in der rechten Nullstelle die Steigung m hat hat der Graph in der linken Nullstelle die Steigung -m

Das Produkt der Steigungen muss -1 sein.

also m * (-m) = -1

Das ist nur für m = ±1 erfüllt.

Da 1/4*x^4 allerdings eine nach oben geöffnete Parabel 4. Grades ist ist die Steigung in der rechten Nullstelle bestimmt positiv.

Answer 3

F ( x ) = 1/4 * x^4 + c
Die beiden Tangenten habe die Steigung 1 und -1
( siehe Grafik Wurzel, Dreieck -45  ° , 90 ° , 45 ° )
rechte Seite der Funktion F
F ´( x ) = x^3 = 1
x = 1

Schnittpunkt mit der x-Achse
F ( 1 ) = 1/4 * (1)^4 + c = 0
c = -1/4

F ( x ) = 1/4 * x^4 - 1/4