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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konstanten \( a \) und \( b \), so dass

$$ \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+1}-a x-b\right)=0 $$


Problem/Ansatz:


Ich hab alle auf dem selben Nenner gebracht und zusammengefasst

\( \frac{x^2+1-a*x*(x+1)-b*(x+1)}{x+1} \)


Dann ausmultipliziert

\( \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} \)

Jetzt wäre es praktisch wenn a = 1 wäre, da ich dann das x^2 los werde und durch x teilen könnte, aber wie genau bestimme ich a und b an dieser stelle? Ich komme da nicht mehr weiter


Würde mich über jegliche hilfe freuen,


Liebe Grüße,

Mauerblümchen

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Beste Antwort

\( \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} \)

ist doch prima (Hab nicht nachgerechnet.).

Und dann a=1 hast du doch schon erkannt, da bleibt

( 1 - x - bx - b ) / (x+1)

Damit das gegen 0 geht muss das x im Zähler auch wegfallen, also

b= -1 und es bleibt 2 / (x+1) und das passt !

Kannst du auch mit Polynomdivision lösen:

(x^2 + 1 ) / (x + 1  ) = x - 1 +   2/(x+1)

und damit   x - 1  -ax - b = 0 ist muss

a= 1 und b= -1 sein.

Avatar von 287 k 🚀

ACH Stimmt ! Ich bin auch auf 2 / (x+1) gekommen, aber dachte das wäre falsch, da es nicht 0 ist.

Aber man setzt ja noch für x "unendlich" ein und erhält 0 :D

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Dein Ansatz ist korrekt. Du hast richtig umgestellt. Damit das Ganze nun gegen 0 geht, musst du die größte Potenz \(x^2\) loswerden. Deshalb setzt du \(a=1\) damit \(x^2-ax^2\) sich aufhebt. Danach hast du nur noch: \(\displaystyle \frac{1-x-bx-b}{x+1}\). Jetzt muss wieder die größte Potenz von \(x\) verschwinden. In diesem Fall also \(x^1\): \(-x+x\) heben sich auf, also wählst du \(b=-1\). Jetzt bleibt übrig: \(\displaystyle \frac{2}{x+1}\) und $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2}{x+1} \xrightarrow{x\to\infty} 0$$ geht wirklich gegen 0, weil der Nenner unendlich groß und damit der Bruch sehr klein wird!

Avatar von 2,1 k

Danke, ich Trottel bin da auch drauf gekommen aber dachte es wäre falsch, weil ich vergessen hatte limes x----> unendlich einzusetzen :D

Ist doch kein Problem, du hattest ja sonst alles richtig und wir konnten dir ja helfen!

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Hallo Blümchen,
am einfachsten ist es
( x^2 + 1 ) durch die 3.binomische Formel
[ ( x +1 ) * ( x - 1 ) ] / ( x + 1 ) zu ersetzen und dann zu
kürzen
( x - 1 ) - ax - b = 0
x - 1  - ax - b = 0
Für a = 1 entfällt x, Es bleibt
- 1- b = 0
b = -1

Avatar von 122 k 🚀

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