Sind diese 3 vektoren linear abhängig?

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie in die vektoren a (1/1/-1) b(5/-1/1) und c (1/-1/1) linear abhängig sind

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt ein LGS aufgestellt: r*a+s*b+t*c=0

Dann habe ich das zum lösen der 3 gleichungen das gauß verfahren genommen und in der letzten Zeile ergibt sich eine nuller Zeile... d.h ja es ist unterbestimmt und es gibt unendlich viele lösungen.. also bedeutet das die vektoren sind linear abhängig oder nicht?

Answer 1

Wenn das so ist, wie Du schreibst, dann hast Du recht.

Answer 2

Aloha :)

Deine Argumentation ist richtig.

Es geht aber auch einfacher. Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das ihre Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Wenn dieses Volumen null ist, müssen die Vektoren linear abhängig sein, weil dann ja mindestens eine Dimension nicht aufgespannt wird.

$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 5 & 1\\1 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}2 & 4 & 1\\0 & 0 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right|=0$$Die 3 Vektoren sind also linear abhängig.

Answer 3

Mit dem Gauss

[1, 1, -1]
[5, -1, 1]
[1, -1, 1]

II + I ; III + I

[6, 0, 0]
[2, 0, 0]

Die diese Vektoren jetzt linear abhängig sind, ist das gesamte System linear abhängig.

Ich denke das Gauss-Verfahren ist oft (bei Schulaufgaben) deutlich einfacher als die Determinante. Zudem wird die Determinante oft ja nicht mal im Unterricht besprochen.

Answer 4

Wenn du die Spaltenvektoren als Matrix schreibst, siehst du, dass der zweite und dritte Zeilenvektor gleich sind.

Damit sind die Vektoren linear abhängig.