Aloha :)
Bei deinem Orginal-Term für \(\lambda\) steht kein Minuszeichen davor, jedoch bei allen 3 Ableitungen. Daher vermute ich mal, dass du das Minuszeichen beim Original-\(\lambda\)-Term nur vergessen hast.$$\lambda=-\frac{1}{t}\ln\left(\frac{A}{A_0}\right)$$
Bei der partiellen Ableitung nach \(t\) ist der ganze Logarithmus-Term konstant:$$\frac{\partial\lambda}{\partial t}=-\frac{1}{t^2}\ln\left(\frac{A}{A_0}\right)$$Bei der partiellen Ableitung nach \(A\) halten wir \(t\) und \(A_0\) konstant und nutzen die Kettenregel:$$\frac{\partial\lambda}{\partial A}=-\underbrace{\frac{1}{t}}_{\text{const}}\cdot\underbrace{\frac{1}{\frac{A}{A_0}}}_{=\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\frac{1}{A_0}}_{=\text{innere A.}}=-\frac{1}{tA}$$
Bei der partiellen Ableitung nach \(A_0\) halten wir \(t\) und \(A\) konstant und nutzen wieder die Kettenregel:$$\frac{\partial\lambda}{\partial A_0}=-\underbrace{\frac{1}{t}}_{\text{const}}\cdot\underbrace{\frac{1}{\frac{A}{A_0}}}_{=\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{A}{A_0^2}\right)}_{=\text{innere A.}}=\frac{1}{tA_0}$$
Du hättest die das Ableiten übrigens durch die folgende Umformung etwas erleichtern können:$$\lambda=-\frac{1}{t}\left(\ln(A)-\ln(A_0)\right)=-\frac{1}{t}\ln(A)+\frac{1}{t}\ln(A_0)$$
