Abstand zum Ursprung minimal (in Abhängigkeit von k)

Question

Der lokale Hochpunkt des Graphen f_k ist in Abhängigkeit von k gegeben durch H_k ( k-1 | e^-k(2+k²)

Ermitteln Sie den Wert von k mit 0,5 ≤ k ≤ 10, für den der Abstand des Hochpunktes H_k zum Ursprung minimal ist.

Meine Idee war, die Schleife zur Vektorgeometrie zu schlagen, also d: | \( \vec{OH} \) | = \( \sqrt{(e-k(2+k²)²+(k-1)²} \) und diese dann nach k umzustellen.

Hier scheitert das Experiment allerdings. Die Gleichung wird ja gleich null gesetzt. Dann quadriere ich die, um die Wurzel zu entfernen... und dann?

Mein Taschenrechner meckert nämlich von wegen ,,Variable nicht definiert"...

Wenn ich mir den Graphen zeichnen lasse, erhalte ich als Minimum ca k≈ 0.808, die Lösungen sagen aber k≈1,3

Kann mir jemand bitte sagen, wo der Fehler liegt?

Comments

Hallo,

Du hst beim Quadrieren den Faktor \(e^{-k}\) nicht quadriert. Außerdem musst Du nicht den angegebenen Term gleich 0 setzen sondern dessen erste Ableitung. Ich fürchte es geht aber nur eine numerische Lösung.

Gruß Mathhilf

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oh jesus christ haha, vielen Dank dir!!

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Vom Duplikat:

Titel: Abstand des Hochpunktes soll minimal zum Ursprung werden

Stichworte: abstand,ursprung

Aufgabe:

Gegeben ist die ganzrationale Scharfunktion fk = e^-k *((x-k)^3 -3*(x-k)+k^2). Der lokale Hochpunkt des Graphen fk ist in Abhängigkeit von k gegeben durch Hk (k-1|e^-k *(2+k^2))

Ermitteln Sie den Wert von k mit -0,5<=k<=10, für den der Abstand des Hochpunktes Hk zum Ursprung minimal ist.

Problem/Ansatz:

Habe in die Lösungen geschaut und dort steht, dass ich den x-Wert und den y-Wert des Hochpunktes jeweils in einer Klammer mit hoch 2 geschrieben innerhalb einer Wurzel addieren soll.

Das erinnert mich an den Satz des Pythagoras. Hat das damit was zu tun, falls ja, kann mir jemand in einfachen Worten den hiesigen Sachzusammenhang erklären?
Außerdem habe ich die Frage "Abstand des Hochpunkts zum Ursprung minimal berechnen" bereits bei Google gestellt und viele Seiten schreiben, dass das was mit einer Neben- und Haftbedingung zu tun haben soll?
Ist das auch hier so?

Answer 1

Sei s der quadratische Abstand

s(k) = (k - 1)^2 + (e^(-k)·(2 + k^2))^2 = e^(- 2·k)·(k^2 + 2)^2 + (k - 1)^2

s'(k) = 2·(k - 1) - 2·e^(- 2·k)·(k^2 + 2)·(k^2 - 2·k + 2) = 0 --> k = 1.298966167

Answer 2

Hallo

der Abstand jedes Punktes (a,b) ,von (0 ,0) ist doch √(a^2+b^2) wenn du irgendeinen Punkt einzeichnest kannst du doch das rechtwinklige Dreieck  mit den Seiten a und b un Hypotenuse= Abstand sehen!

das ist hier auf den Hochpunkt angewandt.

Gruß lul

Answer 3

Abstand von 2 Punkten Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²)  → Ursprung P(x1/y1) → P(0/0)

d²=x²+y²

d²k(x)=... nun eine Kurvendiskussion durchführen

(d²k(x))´=0=...

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

(d²k(x))´´>0  → Minimum