Konvexität beweisen Logarithmusfunktion

Question

wir sollen für folgende Funktion nachweisen, dass sie konvex ist:

f(x)=x*ln(x^2)-ln(x)

Hier der Graph:

https://www.google.de/#q=x*ln%28x^2%29-ln%28x%29

Wie stell ich den Beweis an?

Gruß

Answer 1

f(x) = x·LN(x^2) - LN(x)

D = (0 ; ∞]

f'(x) = LN(x^2) - 1/x + 2

f''(x) = 2/x + 1/x^2 = 2·x/x^2 + 1/x^2 = (2·x + 1)/x^2

Für positive Werte von x ist die 2. Ableitung positiv. Daher ist die Funktion im Definitionsbereich konvex.

Answer 2

  f ( x ) = x * ln (x²) - ln(x)
  f ´ ( x ) = ln ( x^2 ) + x * 1/x^2 *2*x - 1/x
  f ´ ( x ) = ln ( x^2 ) + 2 - 1/x
  f ´´ ( x ) = 1/x^2 * 2*x + 1 /x^2
  f ´´ ( x ) = 2/x + 1/x^2
  f ´´( x ) = ( 2*x + 1 ) / x^2

  2.Ableitung positiv ( Linkskrümmung, konvex )
  ( 2*x + 1 ) > 0
  x > -1/2

  Da der Definitionsbereich R(+) ist wegen ln(x),
ist f ( x ) im gesamten Definitionsbereich konvex.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg