Ist die Gleichung x2 = 2 in ℤ5 lösbar?

Question

Aufgabe:

Ist die Gleichung x²  = 2 in ℤ₅ lösbar?

Problem/Ansatz:

Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass die Gleichung nicht lösbar ist, weil die kongruenten Zahlen zur Restklasse 2 alle keine Quadratzahlen sind, was aber nötig wäre, um die Gleichung zu lösen. Stimmt das?

Answer 1

Hallo

eigentlich einfach 1,2,3,4 durchzuprobieren ist schneller,  denn wie prüfst du deine Behauptung nach?

Gruß lul

Comments

Jetzt bin ich mir bei der Aufgabe gar nicht sicher, wie x² definiert ist. Bei algebraischen Strukturen bedeutet das ja manchmal gar nicht x * x * x sondern x + x + x... woher weiß man denn, welche Operation hier gemeint ist?

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Soweit keine andere Definition vorliegt würde ich von

x² = x * x ausgehen.

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Hallo

x² bedeutet immer x*x, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird.

dass x+x=2 in jedem Z_n lösbar ist ist so trivial, dass du dir diese Frage nicht stellen solltest und sie dir auch nie gestellt werden wird.

Answer 2

lul hat ganz Recht mit ihrer Antwort. Das allgemeine Problem,

in welchen $\mathbb{Z}_p$ ($p$ Primzahl) 2 ein Quadrat ist,

wird durch den zweiten Ergänzungssatz des Gaussschen Reziprozitätsgesetzes

beantwortet:

wennn $p\equiv 1$ oder $\equiv 7$ mod $8$ ist, dann ist 2 ein Quadrat,

im Falle $p\equiv 3$ oder $\equiv 5$ mod $8$ jedoch nicht.