Warum kovergiert die Folge hier gegen 1?

Question

Aufgabe: Potenreihe Konvergenzradius und Konvergenzbereich bestimmen

Problem/Ansatz: Warum kovergiert die Folge hier gegen 1?

Text erkannt:

2.(1) $\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \cdot x^{n}$.
Es gilt
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
und
$\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 1 .$
Folglich erhält man mit dem Wurzelkriterium den Konvergenzradius
$r_{1}=1$

Answer 1

Hallo :-)

Es gilt stets $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$ für $a\in \R_{>0}$. Und da $a:=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0$ für alle $n \in \N$ gilt, folgt $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=1$.

Comments

Mache dir die Unhaltbarkeit deiner Argumentation am Beispiel a = 2^-n klar

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Ok, stimmt. Aber welche Kriterien muss $a>0$ erfüllen, damit $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$ gilt?

Answer 2

Für $n\geq 2$ gilt$$1=\sqrt[n]{1}\leq \sqrt[n]{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq \sqrt[n]{2n}=\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{n}\rightarrow 1\cdot 1=1$$Sandwich-Lemma anwenden ....