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Aufgabe:

Um 3:00 Uhr stehen der kleine und der große Zeiger einer Uhr exakt senkrecht aufeinander. Wie viele Minuten vergehen, bis die Zeiger abermals senkrecht aufeinander stehen?


Problem/Ansatz:

Hi ich verstehe bei der 5.14 nicht wie ich das berechnen soll . Ich habe mir die Lösungen dazu angeschaut und die waren garnicht verständlich, das hat mich demotiviert , und sitze jetzt nun seit 2 Stunden daran diese Aufgabe zu verstehen . Es ist ja so das der Winkel Zwischen beide Zeigern 90 grad sein muss .


von

Kennst du den Begriff Winkelgeschwindigkeit? welchen Winkel legt der große Zeiger pro Min zurück  welchen der kleine ? wie kann man dann den Winkel des großen Zeigers φ1(t) beschreiben , wie den des kleinen φ2(t)

zur Zeit t=0 (3 Uhr) ist φ1(0)=0° φ2(0)=90°

jetzt soll nach einer gesuchten Zeit φ1(t)-φ2(t)=±90° sein-

Gruß lul

Innerhalb von 12 Stunden stehen die beiden Zeiger 11 mal übereinander.
Zwischen den Ereignissen um 12:00 Uhr und (geschätzt) 3:16 Uhr vergehen also 3* 12/11 Stunden, also 3 Sunden und 3/11 Sunden, es findet 3/11 Stunden nach 3:00 Uhr statt. Nach noch einmal dieser Zeit ist wieder ein rechter Winkel erreicht, also insgesamt nach 6/11 Sunden = 360/11 Minuten.

3 Antworten

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Wenn es in Deinem Haushalt keine Analoguhr mehr gibt, bitte schön

https://www.geogebra.org/m/p2fxfuph

Wenns auf die 90° zugeht den Sekundentakt auf 1/100 stellen

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Unterstützung der Anschauung ;-)


von 17 k
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Um 3:00 Uhr stehen der kleine und der große Zeiger einer Uhr exakt senkrecht aufeinander. Wie viele Minuten vergehen, bis die Zeiger abermals senkrecht aufeinander stehen?

(0 + x·360/60) - (90 + x·30/60) = 90 --> x = 360/11 min ≈ 32 min 44 s

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von 440 k 🚀

Warum steht eigentlich ein - zwischen den Klammern ?

Ich messe in der Klammer den Winkel eines Zeigers gegenüber der 12 im Uhrzeigersinn. Die Differenz ist dann der Winkel zwischen den Zeigern.

Wenn wir von der 12 ausgehen , hat ja der Stundenzeiger 30*3 grad =90 grad im Verhältnis zum Minuten Zeiger der bei 0 grad steht zurückgelegt . Ich verstehe aber auch nicht warum da ein x steht . Ist es eine Formel für eine Bewegung?

Ist es eine Formel für eine Bewegung?

Nein - der Ausdruck beschreibt eine Position in Grad. \(x\) ist die Zeit in Minuten. Ist ein Zeiger oben (Position 12:00), so sei der Winkel hier \(0°\). Nach \(x\) Minuten ist der Winkel \(\alpha_m\) des Minutenzeigers zur 12-Uhr-Position$$\alpha_m = 0° + x\cdot \frac{360°}{60\,\text{min}}$$und der Winkel \(\alpha_h\) des Stundenzeiger, der bei 03:00 Uhr startet (\(\to 90°\))$$\alpha_h = 90° + x\cdot \frac{30°}{60\,\text{min}}$$

Nein - der Ausdruck beschreibt eine Position

Es ist auch der überstrichene Winkel (ab 12 Uhr) und damit auch eine Bewegung.

So wie man eine Bewegungsgleichung

s = v * t + s0

hat, so hat man hier auch eine Bewegungsgleichung für den Winkel.

Man könnte theoretische jetzt 90 grad für jede Funktion einsetzen und dann die Zeit einzeln berechnen und es dann addieren

Man könnte theoretische jetzt 90 grad für jede Funktion einsetzen ...

ich schrieb:

\(x\) ist die Zeit in Minuten.

wo willst Du denn den Winkel von 90° einsetzen?

und für \(\alpha_h=90°\)  muss man \(x\) auf \(0\) setzen. Aber was bringt das?


Die Funktionen \(\alpha_m(x)\) und \(\alpha_h(x)\) beschreiben den Winkel von Minuten und Stundenzeiger in Abhängigkeit der Zeit \(x\). Ausgehend von 3:00Uhr wird der Minuten- den Stundenzeiger überholen. Und irgendwann wird er einen Vorsprung von \(90°\) gegenüber dem Stundenzeiger haben. Dann beträgt die Differenz der Zeiger eben die verlangten \(90°\). Formal:$$\begin{aligned} \alpha_m(x) - \alpha_h(x)&=  90°\\   0° + x\cdot \frac{360°}{60\,\text{min}} - \left( 90° + x\cdot \frac{30°}{60\,\text{min}}\right) &= 90°\end{aligned}$$löse diese Gleichung nach \(x\) auf.

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Aloha :)

Der Minutenzeiger durchläuft in einer Stunde einen vollen Kreis, er hat die Winkelgeschwindigkeit \(\frac{360^\circ}{1\,\mathrm h}\).

Der Stundenzeiger durchläuft in 12 Stunden einen vollen Kreis, er hat die Winkelgeschwindigkeit \(\frac{360^\circ}{12\,\mathrm h}\).

Für einen Beobachter auf dem Stundenzeiger ruht der Stundenzeiger und der Minutenzeiger bewegt sich mit der Differenz der Winkelgeschwindigkeit:$$\frac{360^\circ}{1\,\mathrm h}-\frac{360^\circ}{12\,\mathrm h}=\frac{360^\circ}{1\,\mathrm h}-\frac{30^\circ}{1\,\mathrm h}=\frac{330^\circ}{1\,\mathrm h}$$

Um 3:00 Uhr misst der Beobachter auf dem Stundenzeiger, dass der Minutenzeiger um \(90^\circ\) hinterher hinkt. Aus seiner Sicht muss der Minutenzeiger \(180^\circ\) Grad zurücklegen, damit der Minutenzeiger um \(90^\circ\) vorläuft. Die dafür benötigte Zeit \(t\) erhalten wir nun so:

$$\frac{330^\circ}{1\,\mathrm h}=\frac{180^\circ}{t}\implies t=\frac{180^\circ}{330^\circ}\,\cdot1\,\mathrm h=\frac{6}{11}\,\mathrm h\approx0,\overline{54}\,\mathrm h\approx32\,\mathrm{min}\,44\,\mathrm s$$

von 124 k 🚀

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