Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potentreihe

$f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} z^{2 n}$sowie für jedes $z$ aus dem Inneren des Konvergenzkreises den Wert $f(z)$.

(b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potentreihe
$g(z)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n 3^{n} z^{2 n-1}$
sowie für jedes $z$ aus dem Inneren des Konvergenzkreises den Wert $g(z)$.

Hinweis: Lösen Sie Teil (a), bevor Sie Teil (b) lösen. Es gibt einen Punkt, wenn Sie erklären können, warum diese Reihenfolge sinnvoll ist.

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein? Danke!

Comments

Denk mal an geometrische Reihen.

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Wie hilft mir das genau ? Bei der (b) komme ich nicht weiter

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Die Reihe in a) ist eine geometrische Reihe mit Summanden $q^n$, $q=3z^2$ ....

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differenzier mal die Reihe xⁿ bzw.  qⁿ

lul

Answer 1

$\sum_{n=0}^\infty 3^n z^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \left( 3 z^2 \right)^n$ Das ist eine geometrische Reihe die für $\left| 3 z^2 \right| < 1$ konvergiert. Also für $|z| < \frac{1}{\sqrt{3}}$. Kann man mit dem Wurzelkriterium nachvollziehen.

Wegen $\sum_{n=0}^\infty n 3^n z^{2n-1} = \frac{1}{2} \frac{d}{dz} \sum_{n=0}^\infty 3^n z^{2n}$ folgt der Konvergenzradius ist identisch zu Aufgabe (a).

Die Grenzwerte sind im Fall der Konvergenz bei (a) $\frac{1}{1-3z^2}$ und bei (b) $\frac{1}{2} \frac{d}{dz} \frac{1}{1-3z^2}$ muss man jetzt nur noch ausrechnen.