Herleitung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfes

Question

Aufgabe:

Zur Herleitung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfes mit der unteren Kantenlänge a, der oberen Kantenlänge b und der Höhe h kann man diesen in mehrere Teilkörper zerlegen:

einen inneren Quader, vier Dreiecksprismen und vier kleine Dreieckspyramiden (siehe Bild).

Text erkannt:

Dreieckspyramide
Dreiecksprisma

a) Geben Sie eine Formel für das Volumen des inneren Quaders an.

b) Welche Längen  haben die beiden Grundseiten der Dreiecksprismen, und welches Volumen haben sie zusammen in Abhängigkeit  von a, b und h? Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Welche Längen haben die Grundseiten der vier kleinen Dreieckspyramiden, und welches Volumen haben sie zusammen in Abhängigkeit von a, b und h? Begründen Sie Ihre Antwort.

d) Leiten Sie mit Hilfe von a)-c) her, dass sich als Volumenformel für obigen quadratischen Pyramidenstumpf                  V = 1/3h(a^2+ ab + b^2 ) ergibt.

Answer 1

Keine Frage dazu, also gehe ich mal von:

"Es hakt bei a)" aus.

Zu a)   V=b² * h

Mit den anderen Teilen kommst du klar ?

Answer 2

Das was im Aufgabentext 'Dreieckspyramide' genannt wird, ist in Wirklichkeit eine schiefe quadratische Pyramide. Sie hat das Volumen V₁=1/3·((a-b)/2)²·h.

Die Grundfläche des Prismas hat zwei Seitenlängen h und a-b, also die Fläche 1/2·h(a-b)/2. Das Prisma hat die Höhe b und folglich das Volumen V₂=1/2·h(a-b)/2·b.

Der Quader hat die Grundfläche b² und die Höhe h als das Volumen V₃=b²·h

Das Gesamtvolumen des Kegelstumpfes ist also 4(V₁+V₂)+V₃ . Einsetzen und umformen kannst du sicher allein.

Comments

Hallo Roland,

was du in deiner Skizze mit (a-b) beschriftet hast, ist eigentlich (a-b)/2.

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Du hast recht. Ich habe es korrigiert.

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Komme beim einsetzen und umformen auf 1/3*h*(a^2-ab+b^2) also statt dem Plus auf ein Minus und finde mein Fehler auch nicht.

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Um deinen Fehler finden zu können, müsste man deine Rechnung kennen.

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Text erkannt:

\( V=4\left(V_{1}+V_{2}\right)+V_{3} \)
\( V=4 V_{1}+4 V_{2}+V_{3} \)
\( V=4 \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2} \cdot h+4 \cdot \cdot \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{a-b}{2} \cdot b+b^{2} \cdot h \)
\( V=h\left[\cdot\left(\frac{4}{3} \cdot\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}+(a-b) b+b^{2}\right]\right. \)
\( V=h\left[\frac{4}{3} \cdot \frac{(a-b)(a-b)}{4}+a b-b^{2}+b^{2}\right] \)
\( V=h\left[\frac{1}{3} \cdot\left(a^{2}-a b-a b+b^{2}+a b\right)\right] \)
\( V=\frac{1}{3} \cdot h \cdot\left(a^{2}-a b+b^{2}\right] \)

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Du hast in der vorletzten Zeile den Faktor 1/3 aus allem Nachfolgenden ausgeklammert, obwohl er in a*b gar nicht drinsteckt. Da müsstest du vorher a*b schon als \( \frac{1}{3}\cdot 3ab \) schreiben.

Answer 3

Hallo,

a) Geben Sie eine Formel für das Volumen des inneren Quaders an.

V(Quader)=b²•h

b) Welche Längen haben die beiden Grundseiten der Dreiecksprismen, und welches Volumen haben sie zusammen in Abhängigkeit von a, b und h? Begründen Sie Ihre Antwort.

Grundfläche rechtwinkliges Dreieck:

Katheten (a-b)/2 ; h   ;  Höhe b

Volumen(ein Prisma)=h•(a-b)/4 •b

Volumen(vier Prismen)=h•(a-b)•b

c) Welche Längen haben die Grundseiten der vier kleinen Dreieckspyramiden, und welches Volumen haben sie zusammen in Abhängigkeit von a, b und h? Begründen Sie Ihre Antwort.

g=(a-b)/2

V(eine Pyramide)=⅓g²h=(a-b)²•h/12

V(vier Pyramiden)=⅓(a-b)²•h

d) Leiten Sie mit Hilfe von a)-c) her, dass sich als Volumenformel für obigen quadratischen Pyramidenstumpf V = 1/3h(a^2+ ab + b^2 ) ergibt.

V=b²h+h(a-b)b+⅓(a-b)²h=...=⅓h(a²+ab+b²)

:-)