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Gegeben sind ein Kreis K mit dem Radius r=7 und ein Punkt A außerhalb des Kreises. Die Tangente durch A berührt den Kreis in B. Die Länge der Strecke von A nach B sei 12. Aus einer Sekante durch A schneidet K eine Sehne der Länge b heraus. Der Sekantenabschnitt zwischen Sehne und A hat die Länge a. Gegeben ist nun b–a = 4. Bestimme a und b sowohl durch Konstruktion als auch als Lösung eines Systems von Gleichungen.

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Bestimme a und b ... als auch als Lösung eines Systems von Gleichungen.

das ist einfach: a7,54a \approx 7,54. mal sehen ob ich noch eine schöne konstruktive Lösung finde ;-)

.. ich habe eine konstruktive Lösung! Eine 'richtige', die ohne die Information aus der analytischen Lösung auskommt (s.u.)

Bin sehr interessiert. Zeig mal bitte ...

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo Roland,

Die Konstruktion der Strecken aa und bb kann wie folgt geschehen:

blob.png

Man zeichnet die Tangente ABAB mit AB=12|AB|=12 und das Lot in BB auf dem der Mittelpunkt MM (oberhalb ABAB) mit MB=7|MB|=7 aufgetragen wird. KK ist der Kreis um MM mit Radius MB|MB| (blau).

Der Kreis um BB (grau) mit Radius BA|BA| schneidet das Lot (schwarz) in OO oberhalb der Tangente und UU unterhalb. Man halbiere die Strecke 4=ba4=b-a und der Kreis mit Radius 4/2=24/2=2 um AA schneidet die Gerade AOAO in DD. Der Kreis um DD mit Radius DA|DA| schneidet die Strecke DUDU in FF.

Der Punkt GG halbiert die Strecke FUFU und da GU=a|GU|=a ist, wäre man hier bereits so gut wie fertig. Aber zur Kontrolle der Lösung zeichne man noch einen Kreis um AA mit Radius GU=a|GU|=a (rot) der KK in PP und QQ schneidet. Die Gerade durch APAP (rot) ist die gesuchte Sekante, die KK außer in PP noch in RR schneidet.

AP=a|AP|=a und PR=b|PR|=b

Als Add-on hier die gleiche Konstruktion in Desmos. Rechts oben kann man die Differenz bab-a verändern.


Die analytische Lösung stützt sich (genau wie die konstruktive!) auf dem Sekanten-Tangenten-Satz ab. Es gilt:APAR=AB2a(a+b)=122ba=4    2a2+4a=122(2a)2+8a+22=2122+22(2a+2)2=(122)2+22\begin{aligned}|AP| \cdot |AR| &= |AB|^2\\ a(a+b) &= 12^2 \land b-a=4 \\ \implies 2a^2 +4a &= 12^2 \\ (2a)^2 + 8a + 2^2 &= 2\cdot 12^2 + 2^2 \\ \left(2a+2\right)^2 &= (12\sqrt{}2)^2 + 2^2\end{aligned}Die letzte Zeile, so wie sie da steht, kann als Satz des Pythagoras im Dreieck DUA\triangle DUA interpretiert werden (s.o.).

Die Lösung ist a=1+73a= -1+\sqrt{73} , das sollte nun jeder selber ausrechnen können. Und bb ist um 44 länger ;-)

Gruß Werner

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Vielen Dank. Sehr schön.

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Sekanten-Tangentensatz:

blob.png

Für unsere Aufgabe ergibt das

12²=a(a+b)

12²=a(2a+4)

2a²+4a-144=0

a²+2a-72=0

a= -1+√73

Der Kreis muss nicht konstruiert werden. √73 ist die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 8 und 3.

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Als Teilantwort sehr gut. Für eine geometrische Lösung warte ich noch auf Werner.

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