Lösung durch Konstruktion und als Lösung eines Systems von Gleichungen.

Question

Gegeben sind ein Kreis K mit dem Radius r=7 und ein Punkt A außerhalb des Kreises. Die Tangente durch A berührt den Kreis in B. Die Länge der Strecke von A nach B sei 12. Aus einer Sekante durch A schneidet K eine Sehne der Länge b heraus. Der Sekantenabschnitt zwischen Sehne und A hat die Länge a. Gegeben ist nun b–a = 4. Bestimme a und b sowohl durch Konstruktion als auch als Lösung eines Systems von Gleichungen.

Comments

Bestimme a und b ... als auch als Lösung eines Systems von Gleichungen.

das ist einfach: $a \approx 7,54$. mal sehen ob ich noch eine schöne konstruktive Lösung finde ;-)

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.. ich habe eine konstruktive Lösung! Eine 'richtige', die ohne die Information aus der analytischen Lösung auskommt (s.u.)

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Bin sehr interessiert. Zeig mal bitte ...

Answer 1

Hallo Roland,

Die Konstruktion der Strecken $a$ und $b$ kann wie folgt geschehen:

Man zeichnet die Tangente $AB$ mit $|AB|=12$ und das Lot in $B$ auf dem der Mittelpunkt $M$ (oberhalb $AB$) mit $|MB|=7$ aufgetragen wird. $K$ ist der Kreis um $M$ mit Radius $|MB|$ (blau).

Der Kreis um $B$ (grau) mit Radius $|BA|$ schneidet das Lot (schwarz) in $O$ oberhalb der Tangente und $U$ unterhalb. Man halbiere die Strecke $4=b-a$ und der Kreis mit Radius $4/2=2$ um $A$ schneidet die Gerade $AO$ in $D$. Der Kreis um $D$ mit Radius $|DA|$ schneidet die Strecke $DU$ in $F$.

Der Punkt $G$ halbiert die Strecke $FU$ und da $|GU|=a$ ist, wäre man hier bereits so gut wie fertig. Aber zur Kontrolle der Lösung zeichne man noch einen Kreis um $A$ mit Radius $|GU|=a$ (rot) der $K$ in $P$ und $Q$ schneidet. Die Gerade durch $AP$ (rot) ist die gesuchte Sekante, die $K$ außer in $P$ noch in $R$ schneidet.

$|AP|=a$ und $|PR|=b$

Als Add-on hier die gleiche Konstruktion in Desmos. Rechts oben kann man die Differenz $b-a$ verändern.

Die analytische Lösung stützt sich (genau wie die konstruktive!) auf dem Sekanten-Tangenten-Satz ab. Es gilt:$$\begin{aligned}|AP| \cdot |AR| &= |AB|^2\\ a(a+b) &= 12^2 \land b-a=4 \\ \implies 2a^2 +4a &= 12^2 \\ (2a)^2 + 8a + 2^2 &= 2\cdot 12^2 + 2^2 \\ \left(2a+2\right)^2 &= (12\sqrt{}2)^2 + 2^2\end{aligned}$$Die letzte Zeile, so wie sie da steht, kann als Satz des Pythagoras im Dreieck $\triangle DUA$ interpretiert werden (s.o.).

Die Lösung ist $a= -1+\sqrt{73}$, das sollte nun jeder selber ausrechnen können. Und $b$ ist um $4$ länger ;-)

Gruß Werner

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Vielen Dank. Sehr schön.

Answer 2

Sekanten-Tangentensatz:

Für unsere Aufgabe ergibt das

12²=a(a+b)

12²=a(2a+4)

2a²+4a-144=0

a²+2a-72=0

a= -1+√73

Der Kreis muss nicht konstruiert werden. √73 ist die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 8 und 3.

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Als Teilantwort sehr gut. Für eine geometrische Lösung warte ich noch auf Werner.