Hallo Roland,
Die Konstruktion der Strecken a und b kann wie folgt geschehen:
Man zeichnet die Tangente AB mit ∣AB∣=12 und das Lot in B auf dem der Mittelpunkt M (oberhalb AB) mit ∣MB∣=7 aufgetragen wird. K ist der Kreis um M mit Radius ∣MB∣ (blau).
Der Kreis um B (grau) mit Radius ∣BA∣ schneidet das Lot (schwarz) in O oberhalb der Tangente und U unterhalb. Man halbiere die Strecke 4=b−a und der Kreis mit Radius 4/2=2 um A schneidet die Gerade AO in D. Der Kreis um D mit Radius ∣DA∣ schneidet die Strecke DU in F.
Der Punkt G halbiert die Strecke FU und da ∣GU∣=a ist, wäre man hier bereits so gut wie fertig. Aber zur Kontrolle der Lösung zeichne man noch einen Kreis um A mit Radius ∣GU∣=a (rot) der K in P und Q schneidet. Die Gerade durch AP (rot) ist die gesuchte Sekante, die K außer in P noch in R schneidet.
∣AP∣=a und ∣PR∣=b
Als Add-on hier die gleiche Konstruktion in Desmos. Rechts oben kann man die Differenz b−a verändern.
Die analytische Lösung stützt sich (genau wie die konstruktive!) auf dem Sekanten-Tangenten-Satz ab. Es gilt:∣AP∣⋅∣AR∣a(a+b)⟹2a2+4a(2a)2+8a+22(2a+2)2=∣AB∣2=122∧b−a=4=122=2⋅122+22=(122)2+22Die letzte Zeile, so wie sie da steht, kann als Satz des Pythagoras im Dreieck △DUA interpretiert werden (s.o.).
Die Lösung ist a=−1+73, das sollte nun jeder selber ausrechnen können. Und b ist um 4 länger ;-)
Gruß Werner