Wie hoch steht die Flüssigkeit im Glas, wenn ein Achtelliter Wasser eingeschenkt wird?

Question

Der Hohlraum eines Bechers entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) = √ 9·(x+1) um die erste  Achse. Wie hoch steht die Flüssigkeit im Glas, wenn ein Achtelliter Wasser eingeschenkt ist.

Comments

Auch das interessiert mich^^ Ich glaub interfrieren und man muss mit pi multiplizieren

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Der Graph rotiert zwischen x = 0 und x = 3 um die 1. Achse.

Answer 1

f ( x ) = √ ( 9·(x+1) )

Die Funktion kann ersetzt werden durch

f ( x ) = 3 * √ x

Damit hätte der Becher den Fuß bei 0.
Funktionswert an der Stelle x
f ( x ) = 3 * √ x
Fläche an der Stelle x ( Kreisfläche durch Rotation )
A ( x ) = [ f ( x ) ]^2 * π
A ( x ) = 9 * x * π
Volumen durch Integration
V ( x ) = ∫ A ( x ) dx
V ( x ) = ∫ 9 * x * π dx
V ( x ) = 9 * x^2 / 2 * π
bestimmes Integral. 0 ist der Integrationsanfang
V ( x)  = V ( x ) - V ( 0 )
für 1/8 Liter
V ( x ) =9 * x^2 / 2 * π =  125 cm^3
x = 2.97 cm

Es ist nicht alles mathematisch superkorrekt,
aber ich hoffe der Rechenweg ist klar.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

Wie würde das denn gehen, wenn ich die Funktion nicht ersetze bzw. vereinfache, sondern mit der angegebenen Funktion rechne? Bei mir kommt da immer was falsches raus.

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Eigentlich kann man doch diese Aufgabe gar nicht lösen. Da steht nämlich nicht, ob eine Längeneinheit im Koordinatensystem 1cm oder 1mm oder 1dm oder 1m oder ... entsprechen.

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Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

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@Nick

da das Volumen zu 1/8 liter oder 125 cm^3 angegeben ist
muß eigentlich die x Achse in cm, die entstehende Rotations-
fläche in cm^2 und die integrierte Fläche = Volumen in cm^3
herauskommen.

@jb 11
Ich male nachher einmal eine Skizze auf am mach´auch einmal
die Alternativrechnung mit der Ursprungsfunktion: Ich gehe jetzt
aber ersteinmal zum Abendessen.

mfg Georg

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Hier eine Skizze

Die ursprüngliche Funktion unterscheidet sich von der
vereinfachten Funktion nur durch eine Verschiebung
in Richtung x-Achse. Nullpunkt ( -1 | 0 ).
Der Funktionswert für x im Abstand f ( x ) von der x-Achse
rotiert um dieselbe und bildet eine Kreisfläche A ( x ).
r = f ( x ).
Wird die Kreisfläche zwischen zwei x-Werten integriert
erhalten wir ein Volumen ( x ). Dies ist 125 cm^3.

Jetzt gilt es x zu berechnen. Mein Matheprogramm
liefert mir als Ergebnis x= 1.97.

Da wir bei x = -1 angefangen haben ist die Füllhöhe
-1 .. 1.97 = 2.97 cm.

Bin bei Bedarf gern noch weiter behilflich. Zur Lösung
wird wahrscheinlich die pq-Formel notwendig sein.

mfg Georg

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"da das Volumen zu 1/8 liter oder 125 cm³ angegeben ist muß eigentlich die x Achse in cm, die entstehende Rotationsfläche in cm² und die integrierte Fläche = Volumen in cm³ herauskommen."

Sagt wer? Man kann doch 1/8l auch in m³ oder mm³ oder sonst irgendwas umrechnen.

Der Fragesteller hat ja jetzt aber noch geschrieben, dass 1 Längeneinheit 1 cm entspricht, womit es dann klar wäre.

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@Nick

f ( x ) = √ ( 9·(x+1)  )
Dies ist zunächst einmal nur eine
mathematische Funktion.
Dann wird die Funktion in einem physikalischen
Zusammenhang verwendet.
Wird auf der x-Achse die Einheit cm verwendet
hat der Funktionswert in diesem Fall
auch die Einheit cm.
Aus f ( x ) in cm wird bei der Flächenberechnung
A ( x ) in cm^2. da [ f ( x ) ]^2 * π gerechnet wird.
Durch Integration zu V ( x ) = A ( x ) * dx ( cm^2 * cm )
= cm^3. Von cm als Einheit in der Grundformel auszugehen
ist also richtig.
Prinzipiell können in physikalischen Formeln auf der
x- und y-Achse alle möglichen Einheiten auftauchen
z.B. im Strecke/Zeitdiagramm Meter auf der y-Achse
und Sekunden auf der x-Achse.

Wenn du das Volumen zu 125000 mm^3 einsetzt bekommst
du die Höhe in mm heraus.

mfg Georg

Answer 2

Ich nehme an, dass die 1. Achse die x-Achse ist.

Rotationsvolumen um die x-Achse wird durch folgende Formel ermittelt:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx, a ist die untere und b die obere Integrationsgrenze

V = π ∫_a^b [√(9*(x+1)]² dx = π ∫_a^b 9*(x+1) dx = 9*π ∫_a^b (x+1) dx

Ermitteln der unteren Integrationsgrenze a: 0 = √ 9·(x+1) -> 0 = 9·(x+1) ->  0 = (x+1) - > x = -1

Die obere Integrationsgrenze b ist unbekannt.

Laut Aufgabenstellung beträgt das Rotationsvolumen 1/8 Liter (1/8 Liter = 1/8 dm³ = 1/8 VE)

-> 9*π ∫_a^b (x+1) dx = 1/8  <> 72*π ∫_a^b (x+1) dx = 1  <> 72*π* [(0,5*x² + x)]_-1^b = 1 <> 72*π* [(0,5*b² + b - (0,5*(-1)² - 1))] = 1  <> 72*π*(0,5*b² + b + 0,5 ) = 1  <> 36*π*b² + 72*πb + 36*π -1  = 0  <> b² + 2*b + 1 -1/(36*π) = 0

Mit pq-Formel: b1/2 = -1 ±√(1/(36*π)) = -1 ±1/(6*√π)

Da bei x = -1 der Stand der Flüssigkeit Null ist, ist der Flüssigkeitsstand, wenn ich ein Flüssigkeitsvolumen von 1/8 l im vorliegenden Rotationskörper ansetze, 1/(6*√π) dm.

Comments

Warum in quadrat? Ist das immer so?