Absolute Konvergenz von Σ k*q^{k-1}, |q| < 1 beweisen.

Question

Absolute Konvergenz beweisen von:

\( \left(\sum \limits_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}\right), \quad|q|<1 \)

Comments

Tipp: Das ist die Ableitung der geometrischen Reihe

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Einfach zeigen dass die gegebene Reihe die Ableitung der geometrischen Reihe ist indem du letztere Ableitest. Dann die geschlossene Formel der geom. Reihe nach q ableiten. Wenn das, was da rauskommt für die in der Aufgabe gewünschten q existiert, so konvergiert deine Reihe

Answer 1

1 + q + q^2 + q^3 +..... + q^k + .... = 1/(1-q)  = (1-q)^{-1}  für |q| < 1, q≠1    ,| ableiten

1 + 2q + 3q^2 + ....+ kq^{k-1} + ...  = (-1)*(1-q)^{-2} *(-1) = 1 / (1-q)^2 , 

Innere Ableitung (-1) nicht vergessen!

Comments

danke lu aber was ich jetzt mit dem ergebnis was du hast? ich steh echt aufm schlauch oO

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Du weisst jetzt, dass deine Summe gegen 1/ (1-q)^2 konvergiert, wenn |q| <1.

Für 1>q≥0 weisst du dass die Reihe absolut konvergiert gegen 1/(1-q)^2.

Für -1<q<0 kannst du den Betrag von q einsetzen und die Reihe konvergiert absolut gegen 1/(1-|q|)^2.