Zeige ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen

Question

Zwischen zwei endlichdimensionalen V-Räumen \(V\) und \(W\) gibt es einen Isomorphismus, wenn \(dim V = dim W\).

Ich habe es zuerst direkt über die Basen gezeigt. Sei \((v_1, ... , v_n)\) eine Basis von \(V\) und \((w_1, ..., w_n)\) eine Basis von \(W\). Dann definiere ich mir folgende Vorschrift, da ich jeden Vektor \(v\) als \(\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n \) darstellen kann (und analog im \(W\)):
\(F(v) = F(\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n) = \lambda_1 w_1 +... + \lambda_n w_n\). Und man kann leicht zeigen, dass diese Abbildung linear ist.

Jetzt würde ich gerne das ganze direkt über folgende Formel beweisen \(dim V = dim Im F + dim Ker F\). Ich definiere \(Ker F = 0\) und habe dann \(dim V = dim Im F\) also es muss gelten \(dim ImF = dim W\). Und nun? Ich muss irgendwie zeigen, dass wenn die Mengen gleich große Basen haben und eine Teilmenge der anderen ist, dann gibt es eine bijektive Abbildung zwischen \(V\) und \(W\). Geht das irgendwie einfach oder werde ich wieder auf meinen ersten Beweis zurückgreifen müssen?

PS. Es ist mir gerade aufgefallen, dass ich bei dem ersten Beweis nur die Linearität gezeigt habe und noch nicht die Bijektivität, aber die Bijektivität müsste eigentlich offensichtlich sein, da die \(lambda_1, lambda...\) eindeutig sind.

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Ich habe jetzt ein schönes Korollar gefunden:
Ist \(W\) Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraumes \(V\), so ist auch \(W\) endlich erzeugt und es gilt \( dim W \le dim V\). Aus \(dim W = dim V\) folgt \(W = V\).

Damit habe ich \(ImF = W\) also die Funktion ist Surjektiv. Meine letzte Frage ist noch wie zeige ich die Injektivität? \(Ker F=0\) sagt mir erstmal nur nur, dass die Injektivität für ein Element gilt (für 0).

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Warum gibst du nicht einfach die Umkehrabbildung an?

Answer 1

nein, wenn Kern(f) = {0} ist, dann ist f Injektiv.

Beweis: seien x,y aus V mit f(x)=f(y) also f(x)-f(y)=0

wegen Linearität:   f(x-y)=0, also x-y aus kern f

wegen  Kern(f) = {0}   also x-y= 0

x=y.

Du musst übrigens noch beweisen, dass wirklich  Kern(f) = {0}

gilt.  Bekommst du über die Eindeutigkeit der Basisdarstellung.

Comments

Danke für Deine Antwort. Ich habe das bisschen umständlicher gelöst, aber im Endeffekt sehr ähnlich.
Ich weiß, dass \(dim F^{-1} (w) = dim V - dim ImF\). Habe also \(dim F^{-1}(w)=0\). Dann habe ich noch einen weiteren Satz \(F^{-1}(w)=u+ Ker F\). Nehme mir zwei Unterschiedliche \(u,u' \in F^{-1}(w)\) und kann dann ganz leicht zeigen, dass \(u=u'\).

Mir ist aber noch aufgefallen, dass ich nirgendwo (abgesehen von dem ersten Beweis) gezeigt habe, dass die Abbildung linear ist. Wie mache ich das?

PS. Meine Sätze, die ich benutzt habe, erfordern auch die Linearität, deshalb muss man die Linearität beweisen, bevor man die Injektivität beweist.

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Du hattest doch geschrieben:  Und man kann leicht zeigen, dass diese Abbildung linear ist.

Ist in der Tat so:

Nimm einfach ein v und ein w und stelle sie mit der Basis dar mit geeigeneten

Lamdas und Mys. dann hat v+w die Summen der Lamdas und Mys als Faktoren bei

der Basisdarstellung und bei c*v hast eben jeweils c*Lambda und kannst es so

auf die Ergenisse übertragen.

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Mathef, Du hast mich, glaube ich, falsch verstanden. Ich habe eine Funktion \(F\) definiert mithilfe der Basen. Dass die Funktion ein Isomorphismus ist, ist ein Kinderspiel. Das kann ich problemlos zeigen und brauche dafür nicht das ganze Spiel mit den Dimensionsformeln etc.

Danach wollte ich aber einen anderen Beweis haben mithilfe der Dimensionsformel. Mit der Dimensionsformel kann die Surjektivität und Injektivität bewiesen werden, was wir gesehen haben. Die Dimensionsformel erfordert jedoch die Linearität die wir noch nicht bewiesen haben (abgesehen von dem ersten Beweis). Wenn ich jedoch den ersten Beweis betrachte, dann brauche ich, wie schon gesagt, nicht die Dimensionsformel, denn die Bijektivität der Abbildung ist einfach.

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Einfach die Umkehrabbildung anzugeben, ist euch zu einfach?

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Mister, wie meinst Du das?