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bitte um Hilfe. Es geht um folgende Aufgabe:

$$\int { \frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } dx } $$

Substitution $$t={ e }^{ x }-1$$


Mein Lösungsweg:

$$\int { \frac { 1 }{ t }  } dx$$

$$dx=\frac { dt }{ { e }^{ x } } $$


$$\int { \frac { 1 }{ t } \frac { dt }{ { e }^{ x } } =\frac { 1 }{ { e }^{ x } } \int { \frac { 1 }{ t } dt=\frac { 1 }{ { e }^{ x } } ln\left| t \right|  } +C=\frac { 1 }{ { e }^{ x } } ln\left| { e }^{ x }-1 \right|  } +C$$


Stimmt die Rechung?? oder hab ich einen Fehler??

von

4 Antworten

+1 Daumen
Hi, einfacher wäre es sicher so:
$$ \int { \frac { 1 }{ { \text{e} }^{ x }-1 } \text{d}x } = \int { \left(\frac {{ \text{e} }^{ x } }{ { \text{e} }^{ x }-1 }-1\right) \text{d}x } $$
von
0 Daumen

das funktioniert gar nicht. Du kannst nicht einfach \(e^x\) aus dem Integral ziehen.

Richtig wäre zu verwenden: \( e^x = t+1 \) gemäß deiner Substitution, und du kommst zu dem Integral:

$$ \int \frac{1}{t} \frac{1}{e^x}dt = \int \frac{1}{t \cdot (t+1)} dt$$

Ab hier kommst du bestimmt selber weiter

Gruß

von 24 k
0 Daumen

Hi,

Deine Grundidee ist richtig, doch merke Dir, dass wenn Du die Substitution verwendest nur die neue Variable enthalten sein darf. Du betrachtest ja nun den Teil mit ex im Nenner als Konstant und vernachlässigst diesen so!

Erinnere Dich an Deine Substitution: t = ex - 1, womit e^x auch geschrieben werden kann als e^x = t + 1. Das ersetze also noch (sozusagen eine doppelte Subst.)


Damit ergibt sich für das Integral

$$\int \frac{1}{t(t+1)} \;dt$$

Hier kommst Du sicher alleine weiter. Tipp: Partialbruchzerlegung.


Grüße

von 139 k 🚀

:D

Beim Nenner soll das nicht + anstatt - sein???
0 Daumen

Wie bereits gesagt darf das Integral später nur noch die zu integrierende Variable enthalten auch darf ein Term mit einer anderen Variablen als Faktor nach außen gezogen werden. Das ist nur mit konstanten Faktoren erlaubt.

Benutze z.B. Wolframalpha für das Smartphone oder Tablet um eine Lösung zu bekommen an der Du lernen kannst wie man sowas macht.

Bild Mathematik

von 384 k 🚀

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