Wie hoch ist der Wasserstand, damit das Schiff anlegen kann?

Question

in der letzten Woche haben wir in der Schule(9. Klasse, Gymansium) mit dem Thema Sinusfunktionen angefangen und auch gelernt, Funktionsgleichungen aufgestellt. Da ich allerdings noch nicht sehr sicher bin, möchte ich wissen, wie meine Lösung zu folgender Aufgabe ist:

"Die Wassertiefe bei der Einfahrt zu einer Anlegestelle eines kleineren Hafens variiert infolge der Gezeiten. Am Tag der Beobachtung ist die Flut um 4:20 Uhr bei einer Wassertiefe von 5,2 m, die Ebbe ist um 10:32 Uhr bei einer Wassertiefe von 2,0 m.

a) Fertige eine Skizze an und gib eine von der Zeit abhängige Funktion an, die die Wassertiefe beschreibt.

b) Ein größeres Schiff benötigt mindestens 3 m Wassertiefe um anzulegen. Zu welchen Zeiten am Nachmittag ist dies möglich? "

Lösung von mir:

a) Erst habe ich meine Sinusfuktion gezeichnet. Folgende Daten konnte ich ablesen:

Amplitude a = 1,6 m

Periode p: 12:24 h= 12,4

Funktionsgleichung: a * sin (b x) + d

a hatte ich ja schon, und b bekommt man dadurch: b = 2π / p

Dadurch ergibt sich dann, dass b = 0,5067 ist

d ist der Mittelwert vom höchsten und niedrigsten Wert des Graphen. Dadurch erhält man dann: d = (5,2+2 / 2 ) = 3,6

Dadurch: f(x) = 1,6 * sin ( 0,5067 x) + d

b)

Hier habe ich 3 als Ergebnis der Funktionsgleichung eingesetzt und folgendes errechnet:

3 = 1,6 * sin( 0,5067 x) + 3,6. | -3,6

-0,6 = 1,6 * sin(0,5067 x) | /1,6

-0,375 = sin(0,5067 x) | /sin(0,5067)

-0,77 = x

0,77 entsprechen 46 Minuten

Da das Wasser um 13:38 3,6 m hoch ist und da danach die Flut kommt, war es schon eher 3 m hoch. 46 Minuten bevor 13:38 Uhr war es 12:54 Uhr. Um 19:50 Uhr war es wieder 3,60 m hoch, da danach die Ebbe kommt, wird es auch noch 46 Minuten danach 3 m hoch sein, also bis 20:36 Uhr.

Das Schiff kann also zwischen 12:54 Uhr und 20:36 Uhr anlegen.

Ist falsch gelöst oder?

LG

Answer 1

"Die Wassertiefe bei der Einfahrt zu einer Anlegestelle eines kleineren Hafens
variiert infolge der Gezeiten. Am Tag der Beobachtung ist die Flut um 4:20 Uhr
bei einer Wassertiefe von 5,2 m, die Ebbe ist um 10:32 Uhr bei einer
Wassertiefe von 2,0 m.

a) Fertige eine Skizze an und gib eine von der Zeit abhängige Funktion
an, die die Wassertiefe beschreibt.

Ich  rechne die Zeiten in Dezimalzahlen um

P1 ( 4.3333 Std |  5.2 m )
P2 ( 10.5333 Std | 2.0 m )

f ( x ) = a * sin ( b * ( x + c ) ) + d
d = ( 5.2 + 2.0 ) / 2 = 3.6 m
Amplitude
a = 5.2 - 3.6 = 1.6 m

f ( x ) = 1.6 * sin ( b * ( x - c ) ) + 3.6
f ( 4.3333 ) = 1.6 * sin ( b * ( 4.3333 + c ) ) + 3.6
f ( 10.5333 ) = 1.6 * sin ( b * ( 10.5333 + c ) ) + 3.6

1.6 * sin ( b * ( 4.3333 + c ) ) + 3.6
1.6 * sin ( b * ( 10.5333 + c ) ) + 3.6
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
b = 0.5067
c = 11.1667

f ( x ) = 1.6 * sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) + 3.6

~plot~ 1.6 * sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) + 3.6 ; 3 ; [[ 0 | 24 | 0 | 6 ]] ~plot~

b) Ein größeres Schiff benötigt mindestens 3 m Wassertiefe um
anzulegen. Zu welchen Zeiten am Nachmittag ist dies möglich? "

f ( x ) =  1.6 * sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) + 3.6 = 3
1.6 * sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) + 3.6 = 3
1.6 * sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) = -0.6
sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) = -0.6 / 1.6 = -0.375
acrsin (sin ( 0.5067 * ( x + 11.1667 ) ) ) = arcsin ( -0.375 )
0.5067 * ( x + 11.1667 ) = -0.3844
x = -11.93
Nachmittags
x + 2 * 12.40  = 12.87 Uhr
Ab diesem Zeitpunkt aufsteigende Flut

Alle Angaben ohne Gewähr.
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Answer 2

Hier stimmt was nicht:

-0,375 = sin(0,5067 x) |           nicht so: /sin(0,5067)  sondern:

arc sin ( -0,375 ) = 0,5067x

- 0,384397 = 0,5067 * x    jetzt dividieren

-0,7586 = x   also ungefähr das gleiche