Dimension von linearer Hülle bestimmen?

Question

Sei ℝ[x] der ℝ-Vektorraum aller Polynomfunktion mit Koeffizienten aus , d.h p(x)∈ℝ[x] ist von der Form              p(x)=∑^r_i=1 a_ixⁱ für ein r ∈ℕ und mit a₁,....,a_r∈ℝ. Für i=1,....,n sei f_i(x)=1+xⁱ . Bestimmen sie die Dimension von Lin(f₁,....,f_n)

Diesen Ausdruck habe ich noch nie gesehen ℝ[x], was bedeutet er?

Ich glaube hiermit Lin(f₁,....,f_n) ist die lineare Hülle gemeint, also die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren(in diesem Fall Polynome).

Wenn ich in einem simpleren Fall die Dimension berechnen müsste, würde ich wie folgt vorgehen:

1.Vektoren in eine Matrix schreiben

2.Rang der Matrix bestimmen und der Rang entspricht im Falle der Linearen Hülle ebenfalls der Dimension

Die Aufgabe ist zwar cool, komme aber leider nicht weiter. Kann mir jemand bitte den Weg erklären?

Ps: nicht wundern, die Aufgabe ist aus einem Buch und die benutzen teilweise andere Ausdrücke als wir bei der Uni :)

Comments

Was R[x] sein soll steht doch schon im ersten Satz der Aufgabe.

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:D oh man, naja so etwas passier wohl ab und an ...

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Schreib dir doch für z.B. n=4 mal auf, was die f_i überhaupt sind.

vielleicht sind die ja lin. unabh.

Dann bist du schon fertig, denn dann bilden sie eine Basis und

ihr Anzahl ist die Dim.

Answer 1

a1*f1 + a2*f2 + .......  +an*fn = 0
a1*x + a2*x^2 + .......... + an*x^n + (a1+a2+.....+ an) = 0
gibt ai=0 für alle i von 1 bis n, also sind die fi lin. unabh. und
bilden eine Basis von Lin(f₁,....,f_n)  .  Alsop dim=n.