sei v ein euklidischer (unitärer) vektorraum, Beweis

Question

Wäre jemand so lieb und hilft mir bei diesen beiden Aufgaben? Mein Problem ist der Ansatz für die jeweiligen Beweise. Wenn mir jemand einen Denkanstoß oder Ansatz geben würde, würde ich den Rest bestimmt hinbekommen, aber ich weiß nicht so recht wie ich anfangen soll. Danke schonmal für jede Antwort :) 

Answer 1

wenn φ orthogonal ist, erhält sie die das Skalarprodukt, also in euklid. Vekrorräumen ist

x*y = φ(x)  *  φ(y)    also auch   ||x|| = wurzel( x*x ) = wurzel( φ(x)  *  φ(y) ) = || φ(x) ||.

umgekehrt:

wenn || φ(x) ||  =  || x ||   für alle x aus V, dann gilt

|| φ(x)+φ(y) ||   =  ||x+y||

also

wurzel ( (φ(x)+φ(y)*(φ(x)+φ(y) ) =  wurzel ( (x+y)*(x+y))

und wegen || φ(x) ||  =  || x ||   und entspr.. für y kommst du wohl auf das Gesuchte

x*y = φ(x)  *  φ(y)