Grenzwert einer Reihe: Reihe 2/k3 - k = (1/ m2 - m ) - (1/n2 + n)

Question

meine Aufgabe lautet:

Zeigen Sie: für n,m ∈ ℕ mit n ≥ m ≥ 2 gilt:

\sum_k=m ^\n{2/k³ - k} = (1/(m² - m )) - (1/(n² + n))

als Hinweis ist angegeben: Für x³ x∈ℝ gilt x³ - x = (x-1)x(x+1)

Mein Problem ist jetzt, dass ich das ohne Partialbruchzerlegung lösen soll, da wir diese noch nicht gelernt haben. Kann mir da jemand helfen oder vielleicht eine nette Anregung zukommen lassen?

LG

Comments

Alternativ zur PBZ zeige per Induktion über \(n\), dass \(\large\sum\limits_{k=2}^n\frac2{k^3-k}=\frac12-\frac1{n(n+1)}\) für alle \(n>2\) gilt. Der Hinweis würde dann im Induktionsschritt Anwendung finden.

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Das hilft mir sehr weiter!