Integration durch Substitution. Bestimmen Sie folgende Integrale

Question

Komme leider nicht weiter mit dieser Übung:

$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 5 } } *{ e }^{ 3-{ x }^{ 6 } }dx\\ \int { \frac { x*arctan(x)-arctan(x) }{ { x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+x-1 }  } dx\\ \int { \frac { { (sin(s)) }^{ 3 }-sin(s) }{ \sqrt { 5-{ (cos(s)) }^{ 3 } }  } ds } \\ \int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { x }{ tanh({ x }^{ 2 }) } dx }  $$

Answer 1

Tipp zu 1.  Versuche es mal erst ohnen die Grenzen und

substituiere  u = 3-x^6   dann ist  du/ dx = -6x^5  also dx = du / ( -6x^5)

und du bekommst das Integral  ∫ ( x^5 *  e^u *  du / ( -6x^5)

=   ∫ (  e^u *  du / ( -6)               x^5 gekürzt !!

= -1/6   ∫ (  e^u *  du )

= -1/6 * e^u  Substitution zurück

= -1/6 * exp( 3-x^6  )

Das ist jetzt eine Stammfkt. Also gesuchtes Int =

-1/6 * exp( 3-1^6  )     -   ( -1/6) * exp( 3-0^6  )

= -1/6*e^2 + 1/6*e^3

Probier mal die anderen selbst.  Der Nenner bei b) lässt sich auch als

(x^2+1) * ( x-1) schreiben. und im Zähler arctan ausklammern und dann (x-1) kürzen gibt

Int  arctan(x) / ( 1+x^2 ) dx  Jetzt  u = arctan(x) substituieren !

bei c) versuch mal sin(x) auszuklammern und denke an

sin^2 + cos^2 = 1.

Comments

Was ich bis jetzt zu 1. gemacht habe:

u=3-x^6

du=-6x^5 dx

=> $$ -\frac { 1 }{ 6 } \int _{ 3 }^{ 2 }{ { e }^{ u } } du $$

Muss die obere Grenze immer größer als die untere sein?

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Hallo Mathef,

anstelle

=   ∫ (  e^u *  du / ( -6)               x⁵ gekürzt !!

= -6   ∫ (  e^u *  du )

muß es heißen

=   ∫ (  e^u *  du / ( -6)               x⁵ gekürzt !!

= - 1/6   ∫ (  e^u *  du )

mfg Georg

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Danke, werd ich korrigieren.

Answer 2

Zu1)  z= 3 -x^6

Zu2) z= arctan(x)

Zu3)  z= 5 - cos(s)^3

Zu4) z=x^2 , dann v= sinh(z)

 

Comments

Bei 3. weiß ich nicht genau was man da machen muss um weiter zu kommen. Kannst du mir bitte mal zeigen?

Bei 4. komme ich zu $$ \frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 4 }{ \frac { cosh(u) }{ sinh(u) } du } $$

nach z=sinh(u) und dz=cosh(u) => $$\frac { 1 }{ 2 } \int _{ x }^{ y }{ \frac { 1 }{ z } dz } $$

Wie berechne ich jetzt die Grenzen? sinh(1) und sinh(4)?

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ZU3)

sin^3(s)= sin(s) *sin^2(s)

----->dann sin/(s) ausklammern

sin^2(s) +cos^2(s)=1

---<dann wie angegeben substituieren

Berechnung: siehe oben

Zu4)

ich würde Dir empfehlen , die Grenzen zum Schluß einzusetzen , ist aber Geschmacksache.

Berechnung: siehe oben

Answer 3

Hallo curt.darius,

um es mir ( erheblich ) einfacher zu machen bilde ich beim Integrieren
stets nur die Stammfunktion.

∫ x^5 * e^{3-x^6} dx

Ersetzen
z = 3 - x^6
z ´  = -6 * x^5 = dz / dx
dx = dz / ( -6 * x^5 )

∫ x^5 * e^{z} /  ( -6 * x^5 )  dz
∫ e^{z} /  -6   dz
-1/6 * e^z

Zurückersetzen
-1/6 * e^{3-x^6}

Und jetzt das Integral berechnen
[  -1/6 * e^{3-x^6} ] ₀ ¹
-1/6 * e^{3-1^6} - ( -1/6 * e^{3-0^6}  )
- e^2 /6 - ( -e^3 / 6 )
e^3 / 6 - e^2 / 6