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Hallo Forum,

ich suche Hilfe bei der folgenden aufgaben, habe probleme bei den Thema.


Man untersuche die Konvergenz folgender Reihe:

$$ \sum_{k=0}^{\infty}{ \frac { k^2 8^k }{ k! } } \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{ \frac { k 7^k }{ 3^{3k} } }  $$

 .Bild Mathematik

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Bei der ersten Reihe solltest du es mit dem Quotientenkriterium, bei der zweiten mit dem Wurzelkriterium versuchen.

1 Antwort

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ak+1 / ak =    (k+1)^2 * 8k+1 * k! /  ( (k+1)! *k^2 * 8^k  )   kürzen

=     (k+1)^2 * 8  /  ( (k+1) *k^2  ) 

= (8k^2 + 16k + 8)  /  ( k^3 + k^2 )

=   8 / ( k+1)   +    16 / ( k^2 + k )   +   8 /   ( k^3 + k^2 )

für k>50 sind die Nenner auch alle größer als 50  , also

die ganze Summe kleiner als

8/50 + 16/50 + 8/50  = 32/50   < 1 .

Also nach Quot.krit. konvergent.

Probier mal den 2. und lass ihn hier checken.

Avatar von 287 k 🚀

ok danke bei der 2.

k√k3^7 /k^3k = (k3^7/k)/9 ??

Ich habe mit dem Wurzelkrit folgendes raus: k√|((k*7/33)k)| = k*7/33

oder evt k^7/k/(1)

wie kommst du auf die k37?

oh habe eine falsche uahl aufgeschrieben

komme jetzt auch auf 7k /3^3

Ich denke mal eher

7 * k-te wurzel(k)  /   27.


Für hinreichend großes k ist

k-te wurzel(k)   kleiner 2, also

liefert das Wurz.krit.

k-te wurzel ( ak) <  14 / 27   < 1   Also  Reihe konvergent.

mal eine frage warum setzt du bei der 1. 50 ein?

Damit ich nicht so viel rechnen muss.

Du brauchst ja nur eine Stelle, von der an der

Quotient sicherlich ≤ q  < 1 ist.

Für k>50 schien es mir einfach einzusehen. Es ist sicherlich

auch für kleinere k schon der Fall.

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