sei Pk(T)=0,8⋅0,5k−1 die Wahrscheinlichkeit, beim k-ten Versuch zu treffen.
Entsprechend ist Pk(F)=1−Pk(T) die Wahrscheinlichkeit, beim k-ten Versuch nicht zu treffen.
Es ist nun die Wahrscheinlichkeit, beim X=a-ten Versuch den ersten Treffer zu erzielen, gegeben durch
P(X=a)=∏k=1a−1Pk(F)⋅Pa(T). (1)
Da für endliches k jedes Pk(T) und Pk(F) echt kleiner als 1 sind und P1(T)=0,8 echt kleiner als 0,99 ist, kann kein Produkt der Form (1) größer als oder gleich 0,99 werden.
Mit anderen Worten: Die Folge fa=P(X=a) ist monoton fallend und beginnt bei f1=P1(T)=0,8.
Nun ist jenes kleinste n gesucht, für das gilt
∑a=1nfa≥0.99.
Es ist
∑a=1nfa=∑a=1n0,8⋅0,5a∏k=1a−1(1−0,8⋅0,5k−1).
Bedient man sich nun eines Reihenrechners (siehe PS), sieht man, dass dieser Wert für n→∞ gegen ungefähr 0,921956 konvergiert.
Da 0,921956<1 ist, gibt es eine Wahrscheinlichkeit, das bewegliche Ziel nie zu treffen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 1−0,921956=0,078044.
Man kann es übrigens auch kürzer ausdrücken. Sei ∏k=0∞(1−0,8⋅0,5k) die Wahrscheinlichkeit, nie zu treffen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal zu treffen, durch 1−∏k=0∞(1−0,8⋅0,5k) gegeben.
Es gilt für diese Reihe aber
1−∏k=0∞(1−0,8⋅0,5k)=0,921956<0,99,
siehe https://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=1-product_(k%3D0)%5Ein… für diese Formel im Online-Rechner.
Damit hast du dieses Ergebnis auf schnellerem Wege erreicht.
Mister
PS: https://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=sum+(+(0.8*(1%2F2)%5E(…
a=1bis3
a=1bis10
a=1bis20
a=1bis40