Diskussion von Arcussinusfunktion

Question

f(x) = arcsin(x*√(2-x²))

Für den Definitionsbereich komme ich auf

Df = [-√2;√2]

Die Ableitung f´(x) ist laut Lösung eine abschnittsweise definierte Funktion.

f´(x)= -2/(√2-x²)  für x∈]-√2;-1[ oder s∈]1;√2[

        =2/(√2-x²)   für x∈].1;1[

Ich habe die Ableitung auch ausgerechnet und komme nur auf 2/(√2-x²)

Ich wüsste nicht an welcher Stelle ich eine Fallunterscheidung hätte machen müssen.

Vielleicht kann mir mal jemand die Ableitung hier erklären!

Answer 1

f(x) = ASIN(x·√(2 - x²))

f'(x) = 1/√(1 - (x·√(2 - x²))²) · (1·√(2 - x²) + x·1/(2·√(2 - x²))·(- 2·x))

f'(x) = 1/√(1 - x²·(2 - x²)) · (√(2 - x²) - x/(√(2 - x²))·x)

f'(x) = 1/√(1 - 2·x² + x⁴) · (√(2 - x²) - x²/√(2 - x²))

f'(x) = 1/√((1 - x²)²) · (√(2 - x²) - x²/√(2 - x²))

f'(x) = 1/|1 - x²| · ((2 - x²)/√(2 - x²) - x²/√(2 - x²))

f'(x) = 1/|1 - x²| · ((2 - x² - x²)/√(2 - x²))

f'(x) = 1/|1 - x²| · ((2 - 2·x²)/√(2 - x²))

f'(x) = 1/|1 - x²| · (2·(1 - x²)/√(2 - x²))

f'(x) = 2·SIGN(1 - x²)/√(2 - x²)

Comments

Merke

√(x²) = |x|

und

x/|x| = SIGN(x)

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Warum ist √x² = "Betrag von x" ?

Mir ist klar das √x² sowohl für x größer null als auch für x kleiner gilt. Aber muss man deswegen Betrag von x schreiben? Ich hätte einfach mit x weitergerechnet also eben mit einer Funktion. 

Ich schreibe gerade mit dem Handy. Deswegen schreibe ich das oben so umständlich :)

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x = -3

√(-3)² = √9 = 3 = |-3| ≠ x 

 

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Welche fallunterscheidung muss ich dann bei meiner Funktion machen?

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Die "Fallunterscheidung" ist dort durch die

exakte Verwendung des Betrages gemacht:

f'(x) = 1/√((1 - x²)²) · (√(2 - x²) - x²/√(2 - x²))

f'(x) = 1/|1 - x²| · ((2 - x²)/√(2 - x²) - x²/√(2 - x²))

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Also wenn ich den Betrag wegkriegn will muss ich unterscheiden wann 1-x² größer 0 ist und wann kleiner 0 oder?

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Ja das kannst du so machen. Beachte auch was passiert wenn 1 - x² = 0 ist.

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Ist das überhaupt definiert? Ich teile doch dann die Ableitung durch 0 oder?

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Genau. Das ist nicht definiert.

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Diese Funktion war bei uns vor ein paar Jahren mal im Abi dran.  Die Arcusfunktionen waren meiner Meinung der schwierigste Funktiontyp im Abi wenn man das mit den gebrochen Funktionen oder den ln Funktionen vergleicht. Man muss da meiner Meinung viel mehr wissen z. B. wie man Nullstellen oder den Definitionsbereich bestimmt. Das ist ja auch bei jeder arcus Funktion anders bestimmt

Läuft das jetzt speziell bei arcussinusfunktionen immer auf eine fallunterscheidung hinaus oder hängt das davon welche innere Funktion im arcussinus "verpackt " ist?

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Die Ableitung von 

ASIN(x) ist ja 1/√(1 - x²)

Hier selber gibt es noch keine Fallunterscheidung. Es hängt also davon ab, was noch schönes verpackt ist :)