Es soll gezeigt werden, dass f: ℝ→ℝ, f(x):= 4x2+3 stetig ist.
Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium ist |x-x0|<δ
Also: |(4x2+3)-(4x02+3)| = |4x2- 4x02| = |4*(x2-x02)| = |4*((x+x0)*(x-x0))|
Wie kann ich nun den Ausdruck nach oben abschätzen und ein Delta finden, dass kleiner Epsilon ist?
|4*((x+x0)*(x-x0))| < eps <=> |(x-x0)| < eps / ( 4*(x+x0))
Darf ich also x weglassen, da der Ausdruck dann größer wird?
genau, und wenn der Nenner kleiner wird, wird der Ausdruck insgesamt größer.
Stimmt es also, dass ich nur x und nicht x0 nach oben abschätzen darf, da x der Bezugspunkt für den Abstand ist?
Es soll doch etwas für alle x in der Nähe von xo gelten.Da darf die Bedingung nicht von x abhängen, sondern nur von eps und xo.
$$ |4({ x }_{ 0 }+x)({ x }_{ 0 }-x)|<4|{ x }_{ 0 }+x|\delta<\epsilon\\\delta<\frac { \epsilon }{ 4|{ x }_{ 0 }+x| }$$
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