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Probleme im 2. Schritt

Aufgabe

Ich soll in einem Dachraum die Breite b und Höhe h so wählen, damit der Raum ein maximales Volumen hat. 

Bild Mathematik 

Gegeben: 

Seiten des Dreiecks ABC: 8 m
Länge (Fix) des Raumes: 10m 

1. Schritt

Volumen muss maximal sein. 

VMax = 10*x*h 


2. Schritt

h soll durch eine einzige variable ausgedrückt werden, nun frage ich mich was ist eigentlich h. gemäss Zeichnung ust ja die Höhe des Dreieckes ABC 5. Und demnach ist h: 5-h

Im Lerhmittel steht: "Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und A'B'C haben ihre Höhen und ihre Basisseiten das gleiche Verhältnis:
$$\frac { 5-h }{ 5 } =\frac { x }{ 8 } $$
nach h aufgelöst ergibt das 

h = 5 - (5x/8)

Das kann man in die Hauptbedingung einsetzen und man erhält dann für V

V(x;h) = 10*x*h, Definitionsbereich D = )0;8(

$$V(x)=10*x*(5-\frac { 5x }{ 8 } )$$
$$V(x)=50x-\frac { 25 }{ 4 } x^{ 2 }$$
$$V'(x)=50-\frac { 25 }{ 2 } x=0$$

x = 4 
Breite also 4m dann muss ich noch das 4 in h einsetzen und erhalte 2.5 m Höhe.

VMax = 10*4*(5/2) = 100m3 

Das Maximale Volumen beträgt also 100m3.


Das Problem
Das Problem ist, ich hätte die Aufgabe bzw. das h nur als 5-h und hätte somit kein x aber wie kommt man auf die Gleichung in Schritt 2? Ich sehe nicht wie man die Gleichung aufstellen kann. Was habe ich verpasst, dass ich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke nicht erkenne dass das Verhältnis 5-h/5 gleich x/8 ist und woher kommt überhaupt der Nenner 5? 





Gefragt von

kein Bild zu sehen.

Bild Mathematik

Hier ist das Bild noch ein mal. Ist es nun sichtbar  ? 

Was ist der Raum ?

x * h * 10 m ?

Der Raum des Dachstockes (Grundfläche ein Dreieck ABC)  ist folgendermassen:

Breite: 8m 
Länge: 10m
Höhe: 5m

Dort soll ein rechteckiger Raum (wahrscheinlich zur sinvollen Bewohnung) hineinbeschrieben werden, dessen Volumen maximal sein soll. Die länge von diesem rechteckigen raum is ja fix 10m, die Höhe h und Breite x sind variabel.


3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Da steht ja auch, dass die Dreiecke ähnlich sind ( weil entsprechende Seiten

parallel) Das Dreieck A'B'C hat die Basis x und die Höhe 5-h.  Und das

Dreieck ABC hat die Basis 8 und die Höhe 5 .

Also ist das Verhältnis der Höhen    5-h   :    5    und

das  Verhältnis der Basen     x   :    8.

Da beide Verhältnisse gleich sind, ergibt sich die Gleichung.   

Vielleicht ist dir der sog. Strahlensatz vertrauter, damit bekommst du

die Gleichung auch hin.

Beantwortet von 144 k

Vielen Dank für die Antwort ! 

Genau, der Srahlensatz muss ich dann noch mal genau anschauen. 

Aber in der Aufgabe, oder wie du es erklärst, kann ich nachvollziehen wieso jetzt die neue Höhe, also 5-h:5 gleich x/8 ist. 

Aber hätte ich jetzt persönlich dieses Konstrukt aufzeichnen müssen hätte ich gesagt dass das Verhältnis, der neue Höhe aus dem Dreieck A'B'C auch in Hinsicht Höhe dividiert durch Basis gleich ist wie die Höhe des Dreiecks ABC geteilt durch die Basis 8

Sprich hätte ich folgendes gemacht.

5-h / x = 5/8 I *(x)
5-h = (5/8)*x I -5
-h = (5/8 * x) -5 
-h= (-35/8)*x
-h = -4.375x I *(-1)
h = 4375x

Also wäre ich so falsch ? 

5-h / x = 5/8 I *(x)
5-h = (5/8)*x I -5
-h = (5/8 * x) -5 

-h= (-35/8)*x

Hier ist der Fehler !

Die 5/8 und die -5 kannst du nicht verrechnen

denn es ist ja 5/8 * x also Punkt vor Strich.

Du nimmst einfach die letzte Gleichung

-h = (5/8 * x) -5    mal -1  und hast

h = (- 5/8 * x)  + 5 wie in der Lösung !








Topp ! 

Jetzt ist es perfekt, vielen Dank ! :)

 



+2 Daumen

(5-h)/(x/2)=5/4, also (1)  h = 5 - 5x/8  einsetzen in (2) V=10·x·h ergibt V(x)= 10·x(·5-5x/8). Das hast du ja alles auch. Dann hast du h=4: Setz das in (1) ein: 4=5 - 5x/8. 5x/8=1 und x=1,6. Maximales Volumen V=64 m3.

Beantwortet von 42 k
+2 Daumen

Vorüberlegung

das Volumen ist ( max Schnittfläche Vorderfront ) * 10 m

Also brauchen wir nur die max Schnittfläche zu sichen
dann ist auch das Volumen maxmal.

Die Vorderfront ist symmetrisch.
Also brauchen wir nur eine Hälfte zu berrachten

Das Dach stellen wir uns im Koordinatensystem vor.
Die Dachschrägfläche ist eine fallende Gerade.
Davon gilt es zunächst die Funktionsgleichung zu
ermitteln.

Bild Mathematik

mfg

Beantwortet von 84 k

spizerwinkel

Vielen Dank ja genau, vielen Dank ! Dieser Weg ist auch sehr deutlich ! 

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