Extrempunkte hochpunkte??

Question

Extrempunkten hoch und Tiefpunkt suchen von f(x)=1/3x^3+1/2x^2

Comments

Und ich minreichende Bedingung HB: vor zeichenwechse-Kriterium und auch die y-Koordinaten 

Answer 1

Hallo Om,

f(x) = 1/3·x³ + 1/2·x² 

für die möglichen Exstremstellen muss man die Gleichung f '(x) = 0 lösen (notwendige Bedingung):

f '(x) = x² + x =  x * (x+1) = 0  →  x₁ = 0  ;  x₂ = -1

Um zu sehen, ob eine Extremstelle tatsächlich vorliegt und welcher Art sie ggf. ist, kann man z.B. das Vorzeichen von f "(x) an der betreffenden Stelle prüfen (hinreichende Zusatzbedingung): 

 f "(x) = 2x + 1 

 f(0) = 0  und   f "(0)  = 1  > 0   →  T( 0 | 0 )

f(-1) = 1/6   und   f "(-1)  = -1  <  0   →  H( -1 | 1/6 )   

Gruß Wolfgang

Comments

Woher kommt diese 1/6

---

f(-1)  =  1/3 * (-1)³ + 1/2 * (-1)²  = - 1/3 + 1/2  = 1/6

Das ist der y-Wert des Hochpunkts 

Answer 2

f(x)=1/3x^3+1/2x^2
f ´( x ) = x^2 + x
f  ´´  ( x ) = 2x + 1

Stellen mit waagerechter Tangente
x^2 + x = 0
x * ( x + 1 ) = 0
Statz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
x + 1 =
x = -1

Eingesetzt in die 2.Ableitung
f  ´´  ( x ) = 2x + 1
f  ´´  ( 0 ) = 2 * 0 + 1 = + 1 ( Tiefpunkt )
f  ´´  ( -1 ) = 2 * ( -1 ) + 1 = -1 ( Hochpunkt )

Comments

Und die hinreichendes Kriterium für lokale extrema ?

---

Ein hinreichendes Kriterium für eine waagerechte
Tangente ist f ´( x ) = 0
Ein notwendiges Kriterium für einen Extrempunkt
ist f ´´ ( x ) ≠ 0

---

Hinreichend und notwendig verdreht?

---

Hallo Georg,

> Ein notwendiges Kriterium für einen Extrempunkt
ist f ´´ ( x ) ≠ 0

bei f(x) = x⁴  mit  f "(x) = 12 x²  ist  f "(0) = 0  und x=0 trotzdem eine Extremstelle.

Das Kriterium f "(x) ≠ 0  ist also keine notwendige Bedingung. 

---

Hallo Wolfgang,
Ein hinreichendes Kriterium für eine waagerechte
Tangente ist f ´( x ) = 0. Stimmts ?

Dein Fehlerhinweis wird sicherlich berechtigt
sein.
Teile doch bitte dem Fragesteller die offizielle
Definition mit.

---

Hallo Georg,

"für waagrechte Tangente" ist das Kriterium   f '(x) = 0  sogar hinreichend und notwendig

Für eine Extremstelle:

f '(x) = 0   ist eine notwendige Bedingung

" f '(x) = 0  und  f "(x) ≠ 0 "    ist eine hinreichende Bedingung 

Answer 3

Extrempunkte liegen an den Nullstellen der ersten Ableitung:f '(x)=x²+x=x(x+1).Nullstellen x=0 und x=-1.An diesen Stellen liegen die Punkte (0|0) und (-1|1/6). Aus dem üblichen Bild von Graphen einer Polynomfunktion 3.Grades kann man schließen: (0|0) ist Tiefpunkt und (-1|1/6) ist Hochpunkt.

Answer 4

  Du kennst doch Fußballtrainer mit ihren schmutzigen Tricks. Schon mal Pokemon gesehen?

   Weil kubistische Polynome sind ideal. Bis Heute bin ich unbesiegt - manche Tricks brauchst du immer, manche eher selten.  Ich warte immer noch auf den, der gegen mich antritt und mich nach Punkten besiegt.

    Deine Extremata zaubere ich dir  OHNE EINE EINZIGE ABLEITUNG . Du das sehe ich auf einen Block - wie ein Profi.

     f  (  x  )  =  x  ²  (  1/3  x  +  1/2  )      (  1  )

      Da ist schon mal die doppelte Nullstelle bei x = 0 . Diktat für Formelsammlung, Spickzettel und Regelheft ( FRS )

     " Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist immer ein ( lokales ) Extremum. "

    Ferner schlage ich vor für FRS

   " Alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie; sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . "

    Hat dir dein Lehrer auch vorenthalten - obwohl doch jeder weiß, wie wichtig dass Symmetrien sind.

   Jetzt denk mal scharf nach; der ===> Leitkoeffizient ( LK ) deines Polynoms ist positiv. Für solche Polynome geht mit x ===> (+ °° )  asymptotisch auch y gegen Plus Unendlich.  Das bedeutet aber: Wenn es überhaupt Extrema gibt, muss das RECHTESTE Extremum immer ein MINIMUM sein.

    Jetzt haben wir aber die o.e. Punktsymmetrie. D.h.  Spiegel symmetrisch zu diesem Minimum muss links von dem WP das Maximum liegen. Folgende Mittelwertbeziehung wieder für FRS

           x  (  w  )  =  1/2  [  x  (  max  )  +  x  (  min  )  ]          (  2a  )    

           f  (  w  )  =  1/2  [  f  (  max  )  +  f  (  min  )  ]            (  2b  )    

      Das ganze Unternehmen läuft effektiv darauf hinaus: Wenn du zwei von diesen kritischen Punkten hast, hast du automatisch den dritten. Ein Extremum haben wir schon; ( 2a ) würde uns doch nur etwas nützen, wenn wir billig an den WP ran kommen. Und auch da habe ich wieder eine frohe Botschaft für dich. Denn der WP ist ein Klax; ich sage euch immer: Die ===> Kurvendiskussion( KD ) der Polynome 3. Grades hat grundsätzlich  mit dem WP zu beginnen. weil alles andere - Nullstellen und Extrema - verlangt mehr Arbeit; mehr Hirnschmalz.

   Du musst allerdings von der NORMALFORM ausgehen - ganz wichtig. Deine Form ist schon mal Schrott und good for nothing; die Normalform

     f  (  x  )  =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0         (  3a  )

                       a2  =  3/2  ;  a1  =  a0  =  0           (  3b  )

    Wiederum eine Formel für FRS

        x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  (  -  1/2  )          (  4  )

   Ja jetzt dürfte es doch klar sein. Da x = 0 rechts liegt von  ( 4 ) , handelt es sich um das gesuchte Minimum. Und genau so weit lknks fällt x ( max ) =  (  -  1  )

   Ich finde gerade zu Wolfs Plot passen diese Symmetrieerwägungen doch besonders gut. Vielleicht noch als Ergänzung;  ! Satz vom Nullprodukt " ,  8 wie ihr das nennt ) Wenn du die Klammer Null setzt in ( 1 ) , findest du sofort den dritten Abszissenschnittpunkt ( vgl. den Plot ) x3 = ( - 3/2 )

   Genau so würde eine Plan volle KD ja vorgehen; als ( ungerades ) Polynom mit positivem LK kommt es asymptotisch von ( - °° ) Bei x3 wechselt es endgültig nach Plus und nimmt bei Minus eins sein Maximum an.  Dann berührt es den Ursprung; wegen Berührung ===>  Minimum .