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Hallo liebe Community, heute handelt es sich um Differenzialrechnung. Leider komme ich auch hier nicht weiter, deshalb bitte ich um eure Hilfe. :-)

Das Thema ist  "gleichmäßig beschleunigte Bewegung".

Die beiden Aufgabenstellungen lauten wie folgt:

"Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Geschw.) im Intervall [1;3]"
"Welche Geschwindigkeit hat der Körper für t=1?"

Da ich leider grundsätzlich mit dem Laptop arbeite, wird es nicht einfach sein, ein Foto von der Aufgabe hochzuladen. Ich habe jedenfalls nach der Skizze die Funktion ermittelt.

Die Funktion lautet: $$ f(t) = -(t-3)²+5 $$ 

Ich habe versucht mit der 2. Binom. Formel das aufzulösen, allerdings komme ich am Ende immer auf +9+5, so dass die Funktion am Ende nicht stimmt. Wo könnte eventuell mein Fehler liegen? Erstmal das was in der Klammer ist, quadrieren und erst dann das Minus vor der Klammer mit einbeziehen, richtig? (so kommt es zum Vorzeichenwechsel) Trotzdem stört dieses Plus ganz hinten.

$$ (a-b)² = a² -2ab + b² $$
$$ -(t-3)² = -t² - 2•t•(-3) + (-3)² $$
$$ -t²+6t+9+5 = -t²+6t+14 $$

Nichtsdestotrotz musste ich das erstmal so hinnehmen, auch wenn am Ende immer wieder ein falsches Ergebnis raus kam.

Im Endeffekt habe ich diese Gleichung rausbekommen durch mehrfaches Ausprobieren, weil dies mit der Skizze überstimmte: $$ f(t) = -t²+6t-4 $$

Des Weiteren habe ich die Nullstellen ausgerechnet:
$$ t₁ = 0,76 $$$$ t₂ = 5,24 $$
Jetzt wird das gesucht: (Dreieck nach oben gerichtet) $$\Delta t =$$ 
$$ f(t₁) = s₁ = ... (0?) $$$$ f(t₂) = s₂ = ... (0?) ⇒ \Delta s = ... $$$$ s=\frac{ \Delta s}{ \Delta t} = ...$$

",d.h. die durchschnittliche Geschwindigkeit in diesem Intervall beträgt....."

Wie ihr seht, die Aufgabe ist ziemlich umfangreich, zumindest habe ich sie so empfunden. Leider gehen mir langsam die Ideen aus, wie ich das alles lösen muss.

Ich danke euch schon mal Voraus! 

LG

von

Ich denke damit ist die Frage beantwortet.

Ich fang mal hinten an:

$$ s=\frac{ \Delta s}{ \Delta t} =\dots $$Was soll das denn sein?

Jetzt wieder zurück nach vorne: Es sollte von Anfang an klar genmacht werden, was die Funktion f überhaupt modelliert und in welchen Einheiten Argumente und Werte dargestellt sind. Ohne diese Information ist alles, was danach kommt, sinnlos.

Siehe meinen Kommentar unter Gast jc2144

@Smitty: Ja, aber diese Informationen muss der Frager mitliefern.

Ich habe mich verschrieben, es soll heißen: $$ v= \frac{∇s}{∇t} $$

Wird ja schließlich die Geschwindigkeit gesucht.

Das Ding heißt "\Delta": \(\Delta\)

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

f ( t ) = - ( t - 3)^2 + 5

Ich nehme an dies ist die Weg / Zeit Funktion

Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit
f(3 ) = 5
f ( 1 ) = 1

( 3 | 5 )
( 1 | 1 )
v = [ ( ende der Strecke ) - ( anfang der strecke ) ] / Zeit
v = ( 5 - 1 ) / ( 3 - 1 )
v = 2

Momentangeschwindigkeit
1.Ableitung
f ´( t ) = -2 * ( t - 3 )
f ´( 1 ) = -2 * ( 1 - 3 ) = 4

Bei Bedarf wieder melden.

von 89 k

Einzig ausführliche und konkrete Antwort unter all den Kommentaren

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Auf dem AB war das ein wenig anders verlangt, deshalb musste ich ein wenig nachdenken, wie ich diese Ergebnisse so umsetze, dass das Ganze stimmt.

Ich habe es jetzt hinbekommen und hoffe, dass es in Ordnung ist, ansonsten frage ich nochmal meine Lehrerin nach den Sommerferien. 
Trotzdem hat mir Ihre Antwort weitergeholfen, DANKE!

Frag bis alle Klarheiten beseitigt sind.
mfg Georg

Das wäre doch schlimm georg, wenn alle Klarheiten beseitigt werden sollen ;)

Hallo Smitty,
Das war ein Wortwitz genau wie der Ausspruch

Mailand oder Madrid.
Ist doch egal.
Hauptsache Italien.

+1 Daumen

Hallo,

f(t)=-t^2+6t-4 stimmt. Du brauchst die Klammer aber nicht aufzulösen, um f(1) zu berechnen:

f(1)=-(1-3)^2+5=-(-2)^2+5=-4+5=-1

Ebenso f(3)=5

Dann ist v_{durchschnitt}=(5-(-1))/(3-1)=6/2=3

In Teil b musst du die Ableitung berechnen an der Stelle t=1

von 33 k

Falscher Gedanke. Deshalb ein Kommentar

Ich glaube, dass mein Gedanke doch etwas Sinn macht. Nur leider ist die Antwort jetzt weg
Hätte ich mal etwas länger nachgedacht...
Das Thema ist  "gleichmäßig beschleunigte Bewegung".
Daran ist zu erkennen, dass f(t) nicht für die Geschwindigkeit steht, sondern für den Weg, denn für die Geschwindigkeit müsste es eine lineare Funktion sein
Man müsste also erstmal noch die Funktion ableiten und dann deine Schritte befolgen.

Oder Irre ich?

Wenn f(t) den Weg beschreibt, dann ist f'(t) die Geschwindigkeit. Die durchschnittliche Geschwindigkeit (Steigung) berechnet sich über die Sekantensteigung m=(f(t_2)-f(t_1))/(t_2-t_1)

Wenn du anstelle von f im Zähler f' einsetzt kommt die durchsch. Beschleunigung heraus, beachte auch die Einheiten der Ausdrücke.

Wenn ich jetzt nur wüsste, was Sie gemacht haben.
Sie haben sich ziemlich kurz gefasst, deshalb kann ich gar nicht die "Ergebnisse" zu meinen Fragen zuordnen bzw. verstehe ich Ihre Vorgehensweise nicht so ganz.
PS.: Ich musste die Funktion auflösen, um die Nullstellen zu ermitteln, weil ich diese auf dem AB angeben musste, um danach v und s berechnen zu können. Allerdings weiß ich immer noch nicht wie genau.

jc2144 hat zunächst die y-Koordinaten der beiden Punkte  und anschließend die Steigung der Geraden durch diese beiden Punkte durch den Differenzquotienten berechnet.

Bei mir kommt bei dem Differenzquotienten die Zahl 2 raus und anstatt 3. Ist denn dieser Ansatz richtig? Gibt es mir die Durchschnittsgeschwindigkeit an?

Warum muss ich dann die Nullstellen (t1/2) in die Ausgangsgleichung f(t) einsetzen, um s1/2 zu bekommen? So steht es nämlich auf meinem Arbeitsblatt. Daraus muss dann Delta (s) ermittelt werden und erst dann die Geschwindigkeit. Da ich aber noch nicht mal Delta (t) habe, nützt mir das recht wenig. :-(

Ja, 2 ist richtig und die Sekantensteigung gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit an.

Ja ich hab oben einen Vorzeichen Fehler bei -1 für f(1), aber es ist +1 !

Dann kommt 2 heraus.

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