Gleichungssystem mit 3 Variablen: 30 Flaschen Getränke der Sorten A, B und C

Question

Aufgabe:

Jemand hat 30 Flaschen Getränke der Sorten A, B und C für 30 gleiche Münzen gekauft. x, y und z sind jeweils die Anzahl der Flaschen von Sorte A, B und C. Für 3 Flaschen der Sorte A zahlte er eine Münze, für zwei Flaschen der Sorte B ebenfalls eine Münze und für jede Flasche der Sorte C zwei Münzen. Wie viele Flaschen jeder Sorte hat er gekauft?

// Lösung: (1) x + y + z = 30 ⇔ x +2z -30

(2) \( \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y + 2z = 30 \)   | (1) in (2) einsetzen liefert die Gleichung

$$ 20 - \frac{10}{9}x = y. $$

Da x, y, z ∈ ℕ sein müssen, folgt: x = 9; y = 10; z = 11;

Antwort: 9 Flaschen von A, 10 Flaschen von B, 11 Flaschen von C.

Fragen:

1 - Wie kann er nur 2 Gleichungen haben, wenn es 3 Variablen gibt?

2 - Wie kommt er auf dieses Ergebnis? Ich setze das z ein und das geht gar nicht.

Comments

Ich setze das z ein und das geht gar nicht

Zeig mal deine Rechnung.

Answer 1

20-10/9·x= y.
Du kommst bis hierhin
Dies ist eine Gerade mit unendlich vielen Lösungen.

Die Lösung muß allerdings ganzzahlig sein
( diophantische Gleichung ) sein.

Durch das Einsetzen von x = 9 ist das gegeben.

Comments

Daumen hoch von mir.

Nun musst du nur noch begründen, warum es keine andere Möglichkeit gibt.

Die Anzahl Flaschen kann bei einem Kauf nicht negativ sein. Somit sind nur natürliche Zahlen (inklusive 0) erlaubt.

Schliesse nach diesem Hinweis noch. x=0, x=18, x=27 usw. aus.

Answer 2

Die Anzahl der Gleichungen und die der Variablen sind grundsätzlich unabhängig voneinander.

Nur weil das Gleichungssysstem fünf Variablen hat, heißt das nicht, dass es auch fünf Gleichungen haben muss.

Die Lösbarkeit von Gleichungssystemen ist abhängig von der Anzahl der Gleichungen und der Variablen: Wenn das Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variablen hat, dann ist es micht eindeutig lösbar.

Comments

Die Lösbarkeit von Gleichungssystemen ist abhängig von der Anzahl der Gleichungen und der Variablen: Wenn das Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variablen hat, dann ist es nicht eindeutig lösbar.

 und von der Grundmenge für die Variablen, was hier wohl das Entscheidende ist.

Answer 3

(1) in (2) einsetzen liefert zunächst:

x/3+x/2+60-2x-2y=30. Zusammenfassen liefert dann

-5x/3-3y/2=-30. Multiplikation mit (-6) liefer dann:

10x+9y=180 oder 9y=180- 10x. Division durch 9 liefert:

y=20-10x/9 oder 20-10/9·x= y.

Comments

Na gut, wenn ich 20-10/9·x= y bekomme, woher weiß ich, dass der x, z.B, = 9 ist, oder wer das y ist, usw?

Ich hatte allerdings noch nie von dieser diophantische Gleichung gehört! Wieso erzählt mir der Lehrer nicht, dass das keine normale Gleichungen sind?Dann hätte ich mich nach dem Thema erkundigt

Pffff

Ihr seid die Besten!

---

Entschuldige mal kondrick, man muss nicht wissen, wer oder was eine diophantische Gleichung ist, man sollte aber beachten, welche Werte die gesuchten Größen überhaupt annehmen können. Hier gilt:
$$x,y,z \in \left\{1,2,3,\dots ,28\right\}$$Es gibt keine negativen oder halben Flaschen und von jeder Sorte wird mindestens eine, insgesamt aber genau 30, Flaschen gekauft.