Artikel: Koordinaten eines Punktes auf der Kreislinie berechnen

Question

Ich möchte in diesem Wissensartikel darüber schreiben, wie man sich die Koordinaten von Punkten auf der Kreislinie k berechnet.

Hier ist die Formel:

$$y = \sqrt { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$$

r ist dabei der Radius, x und y die Koordinaten.

Die Ableitung wird nun erläutert:

Ein Kreis besteht aus der Linie von allen Punkten in einem Koordinatensystem, die von einem Mittelpunkt M den gleichen Abstand haben.

~plot~sqrt(1^2-x^2)~plot~

Wir können nun ein gleichschenkeliges Dreieck zu einem Punkt auf der Linie einzeichnen. Die Hypotenuse ist dabei der Radius r und die lange Kathete längs der x-Achse. Mit dem Satz des Pythagoras

$$\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = c$$

können wir nun die Hypotenuse ausrechnen.

$$\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = r$$

Da diese aber schon bekannt ist, müssen wir umformen:

$$\sqrt { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } = y$$

Beispiel:

Ein Kreis mit Radius 2 ist gegeben. Welche y-Koordinaten hat der Punkt mit x=1.271?

$$\sqrt { 2 ^ { 2 } - 1,271 ^ { 2 } } = \sqrt { 4 - 1,615441 } = \sqrt { 2,384559 } = 1,54420 \ldots \Rightarrow y \approx 1,54$$

Bei Wünschen, Beschwerden, Anregungen und Fragen bitte kommentarieren.

Comments

Irgendwo solltest du noch erwähnen, dass in deiner Skizze ein Halbkreis mit dem Radius r=1 gezeichnet wird und warum dieser Halbkreis oberhalb der x-Achse interessant ist.

EDIT: Habe mir erlaubt ein h in Pythagoras zu verschieben.

Answer 1

Nach dem ein Kreis keine Funktion darstellt ist die Herangehensweise über einen Funktionszusammenhang nicht das MIttel der Wahl.

Zur Vervollständigung und Verallgemeinerung:

Ein Kreis (M,r) stellt sich in einer Koordinatengleichung dar als

\(K_1:  \,  \left( \left(x, y \right)^T - M \right)^{2} - r^{2} = 0\)

oder als

\(K_M(t) \, :=  \, M + r \left(u \; \operatorname{sin} \left( t \right) + v \; \operatorname{cos} \left( t \right) \right)\) , u⊥v

die Parameterform eignet sich gut einen Punkt auf dem Kreis, z.B. per Winkel anzugeben

M=(1,1)^T, u=(1,0)^T, v=(0,1)^T, r=1

\(K_1:  \, \left(x - 1 \right)^{2} +  \left(y - 1 \right)^{2} - 1 = 0\)

\(K_M(t) \, :=  \,  \left(\operatorname{sin} \left( t \right) + 1, \operatorname{cos} \left( t \right) + 1 \right)\)

\(K_M(0°)=(1,2)^T, K_M(60°) =\left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}, \frac{3}{2} \right)^T\)

Answer 2

Hallo

Genau, was dein "Wissens" artikel erklären soll ist mir nicht klar. Anscheinend willst du aus Radius  ist konstant und Pythagoras, x^2+y^2=r^2 erläutern und das nach y auflösen?

Dass du dann ein Dreieck mit Punkt auf dem Kreis  als "gleichschenklig" erklärst ist schon eigenartig, dann gälte ja x=y?, warum in deiner Skizze das Dreieck nicht auftaucht, wozu dann die Skizze?  "lange Kathete auf der x- Achse"? in deinem Beispiel ist das die kurze! zu jeder x- Koordinate auf dem Kreis, gehören 2 y-Koordinaten ausser für x=r

 du hast in deiner Skizze nur den oberen Halbkreis?

du hast das als Frage gepostet, was ist die Frage?

Gruß lul

Comments

x und y sind ja die Katheten und die Achsen stehen so weit ich weiß normal aufeinander?

Man muss ja einen Wissensartikel als Frage posten mit "wisdensartikel", oder?

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Hallo

 ja, x- und y- Achse sind senkrecht zueinander, aber was hat der Kommentar mit meiner Kritik zu tun?

Gruß lul