Ich komme mit der Aufgabe leider nicht voran:
Für natürliche Zahlen n und q sei $$s_n(p)=\sum \limits_{k=1}^{n}k^{p}$$
Zeigen Sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die
Pascal’sche Identität: $$\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix} S_n(p) = (n+1)^{q+1} -1$$
Ich habe den Induktionschritt mit n -> 1 versucht aber komme irgendwie zu einem Widerspruch. Mein versuch war:
$$\sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix} \sum \limits_{k=1}^{1}k^{p} = \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix} 1^p = \sum \limits_{p=0}^{q}\begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix}$$ Ich habe im Skript folgendes: $$\sum \limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=(2)^{n}$$
Dadurch bekomme ich:
$$\sum \limits_{p=0}^{q} \begin{pmatrix} q+1\\p \end{pmatrix}=(2)^{q+1} \neq (1+1)^{q+1}-1$$
Was mache ich hier falsch? Habe ich die Summenformel der binomsche Koeffizenten falsch eingesetzt? Ich wär sehr dankbar, wenn jemand mir helfen kann :)
