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Hallo allerseits,
diese Frage ist nicht Bestandteil einer Hausaufgabe.

Ich habe ein Koordinatensystem mit 4 Bekannten Punkten (Eckpunkten), welche ein Rechteck bilden. Die AbstÀnde zwischen den einzelnen Punkten sind bekannt.
Jetzt soll in dem Rechteck die Position eines Punktes P bestimmt werden. Von P ist der Abstand zu einem Eckpunkt der Radius r. Dieser ist unbekannt. Die AbstÀnde zu den anderen Eckpunkten sind mit x(1,2,3) + r gegeben, wobei x(1,2,3) jeweils bekannt ist, r hingegen nicht.

Wie kann ich r berechnen?2019-06-18_115627.png

von

Hallo,

du kannst die LĂ€nge der Diagonalen, die von links oben nach rechts unten verlĂ€uft, mit dem Satz des Pythagoras berechnen, dann brauchst von dem Ergebnis nur  noch eine der bekannten LĂ€ngen x1,2,3 abzuziehen, um den Radius zu erhalten.

Gruß, Silvia

PS: Dieser Ansatz ist leider falsch, s. Kommentar von az0815

Nun, das ist zum einen falsch und zum anderen scheinst du davon auszugehen, dass der Punkt P auf der Diagonalen liegt, was er aber nicht muss.

scheinst du davon auszugehen, dass der Punkt P auf der Diagonalen liegt,

Du hast recht, davon bin ich ausgegangen.

Ja, er könnte auch ganz woanders liegen (siehe Plot), aber danke fĂŒr den Versuch.


~draw~ punkt(1|1);punkt(1|7);punkt(9|1);punkt(9|7);linienzug(1|1 1|7 9|7 9|1 1|1){0F0};punkt(2|3 "P");linienzug(1|1 9|7){0F0};linienzug(1|7 9|1){0F0};kreis(2|3 2.2);strecke(9|1 4.2|2.5){F00};strecke(9|7 4|4){F00};strecke(1|7 1.4|5.2){F00};zoom(10) ~draw~

Ich habe eine allgemeine Formel die aber zu komplex ist um sie hier hinzuschreiben. Brauchst du die Formel oder soll es fĂŒr konkrete Zahlen vorgemacht werden?

Formel wÀre gut, ich möchte es gerne programmieren.

Hallo cinderr,

das System, was Du beschreibst, ist bereits ĂŒberbestimmt. D.h. im allgemeinen Fall wird es gar keine Lösung geben.

Nehmen wir mal zwei der drei Eckpunkte heraus, zu denen der Abstand zu \(P\) \(x_1+r\) bzw. \(x_2+r\) betragen soll. LĂ€sst man \(r\) frei laufen, so liegen alle diese Punkte auf einem Paar HyperbelĂ€sten. Das gleiche kann man fĂŒr ein zweites Paar der Eckpunkte machen und erhĂ€lt so maximal vier Punkte \(P_j\) mit \(j \in \{1,2,3,4\}\), in denen sich die Hyberbeln schneiden. Jeder der Schnittpunkte hat dann zu den drei Eckpunkten den Abstand \(x_i+r_j\). Dass jetzt einer der Schnittpunkten \(P_j\) zum vierten Eckpunkt des Rechtecks gerade den Abstand \(r_j\) haben sollte, wĂ€re reiner Zufall.

Gibt es noch weitere Informationen zu dieser Aufgabe?

Der Abstand zu einem Eckpunkt betrĂ€gt immer r. Nur der Eckpunkt, zu welchem der Abstand r betrĂ€gt, kann sich Ă€ndern, da es sich immer um den Eckunkt handelt, zu dem der Punkt P die kĂŒrzeste Verbindung r aufweist. Von den anderen Punkten ist der Abstand dann immer x(1,2,3) + r.

.. das habe ich auch so verstanden. Ändert aber nichts an der Überbestimmtheit.

2 Antworten

+1 Daumen

Falls P nicht zufÀllig auf der Diagonalen liegt, sieht die Sache so aus:

blob.png

Dann gilt  (b-x)2+y2=u2

         und (a-y)2+x2=w2

Dies System mit zwei Unbekannten (x und y) kann man lösen, Dann ist r2=x2+y2.

von 59 k

Aber u und w sind ja ebenfalls unbekannt. Da komme ich im Moment nicht drauf wie ich das System lösen kann. Könntest Du mir da noch einen Denkanstoß geben?

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe ist:

u = x1 + r
v = x2 + r
w = x3 + r

Also alles gegeben.

Wahrscheinlich stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch, aber so richtig bin ich noch nicht dahintergekommen.

r bleibt erstmal als unbekannte stehen. das ist ein gleichungssystem. mehrere gleichungen mit mehreren unbekannten. das kannst du dann zu den unbekannten auflösen.

Sehr gut aufgepasst und recherchiert @abakus

Da ich heute zum ersten Mal eine Frage in einem Matheforum einstellen wollte, habe ich "Mathe Forum" bei Google gesucht und mein Anliegen in den ersten beiden Foren gepostet. Warum? Weil ich nicht wusste wie stark beide Foren frequentiert werden. Und wÀhrend ich in diesem Forum mehrere sinnvolle Antworten erhielt, habe ich in dem anderen keine erhalten, bis auf Deinen brandmarkenden, aber nicht helfenden Hinweis, "Doppelpost". Meiner Ansicht nach war es bis jetzt die richtige Entscheidung so zu handeln.


Zum Problem:

@Der_Mathecoach

Auf dem angefĂŒgten Schmierzettel sind meine stĂŒmperhaften Versuche der Lösung nĂ€her zu kommen. Leider habe ich das auch schon seit ein paar Jahren nicht mehr gemacht. Wo mache ich einen/mehrere Fehler?

2019-06-18_140406.jpg

@abakus,

Doppelpost bitte nur intern melden. Ansonsten könnte man bei (fast) jeder Frage auf x-beliebige Foren verweisen. Außerdem ist es doch gut, wenn unabhĂ€ngig verschiedene LösungsansĂ€tze entwickelt werden!

Doppelpost bitte nur intern melden. Ansonsten könnte man bei (fast) jeder Frage auf x-beliebige Foren verweisen. Außerdem ist es doch gut, wenn unabhĂ€ngig verschiedene LösungsansĂ€tze entwickelt werden!

Zum ersten Satz: Deine Bitte ist umsonst.

Zum zweiten Satz: Ich teile diese EinschĂ€tzung nicht. Mehrfachposts sind eine eher seltene Erscheinung, denn hĂ€ufigere Nutzer von verschiedenen Foren merken sehr schnell (und deutlich), dass ein solches Verhalten in seriösen Foren absolut verpönt ist. Man muss schon entweder Neuling oder sehr unverfroren sein, um mehrmals die gleiche Frage in verschiedenen Foren zu posten. (Wahrscheinlich hast du zu wenig Foren-Erfahrung außerhalb dieses Lounge-Mikrokosmos.)

Zum dritten Satz: Es ist tendenziell eher unverschĂ€mt, mehrere Leute gleichzeitig mit der gleichen Fragestellung "zu beschĂ€ftigen". Man sollte wenigstens eine angemessene Wartezeit verstreichen lassen, bevor man bei ausbleibender Reaktion noch andere Foren bemĂŒht.

Das Forum matheraum.de hat das ĂŒbrigens bemerkenswert gelöst: Jeder Fragesteller ist dort angehalten, entweder den Nachsatz "Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt" oder fairerweise den Hinweis: "Ich habe die Frage auch in  folgenden anderen Foren gestellt:...." anzufĂŒgen.

Wo mache ich einen/mehrere Fehler?

Du hast das \(x_3\) ignoriert. Es fehlt noch die Bedingung $$(b-x)^2 + (a-y)^2 = (x_3+r)^2$$

@abakus,

dann haben wir offensichtlich andere Motivationen, in Foren Antworten zu schreiben. Ich kann dir fĂŒr fast jede Frage hier einen Link zu einem anderen Forum schicken.

Ich kann dir fĂŒr fast jede Frage hier einen Link zu einem anderen Forum schicken.

Diese Behauptung ist haltlos. Selbst wenn man das ĂŒbertriebene "fast jede" zu deinen Gunsten großzĂŒgig nur als "mehr als die HĂ€lfte" interpretiert:

Ich bin selbst gleichzeitig in mehreren Foren unterwegs und finde nur ganz selten Doppelposts. Ich kann mit nicht vorstellen, dass du deine Behauptung statistisch seriös untermauern kannst.

Klar kann es sein, dass eine Frage im Laufe der Jahre mehrfach gestellt wurde, weil Professoren die gleichen Aufgaben Jahr fĂŒr Jahr stellen, aber das war ja nicht der Streitpunkt.

Dann haben wir gerade aneinander vorbeigeredet.

Wenn du noch etwas sagen willst, dann hier:

https://www.mathelounge.de/chat

Hier ist das unnötig!

Danke fĂŒr den Link, wĂ€re aber nicht nötig gewesen, denn ich kenne den chat.

Und: Nein, ich möchte nichts mehr sagen, das Wesentliche ist ausgetauscht.

0 Daumen

Hallo cinderr,

Du hast ja auf meinen Hinweis mit der Überbestimmtheit bisher nicht reagiert. Vielleicht verrĂ€tst Du uns noch aus welchem Kontext die Aufgabe entstammt.

ich möchte es gerne programmieren.

D.h. man kann auch ein iteratives Verfahren wĂ€hlen, was zwar nicht die Lösung liefert (IMHO gibt es die nicht!), aber immerhin eine Position fĂŒr \(P\) und einen Wert fĂŒr \(r\), der die Vorgaben ungefĂ€hr erfĂŒllt.

Als Beispiel habe ich ein Rechteck mit den Maßen \(12 \times 7\) gewĂ€hlt und die Werte fĂŒr die \(x_i\) sind \(x_1=5\), \(x_2=6\) und \(x_3 =4\). Dann komme ich zu folgendem Bild:

Untitled3.png

Der Punkt \(A\) liegt im Ursprung und \(B\) bei \(B=(12|\,0)\). Ergebnis: \(P \approx (8,21|\, 0,83)\) und \(r\approx 3,66\). Als Kriterium fĂŒr den 'best fit' habe ich ein Energieminimum gewĂ€hlt.

Man kann an diesem Beispiel auch gut sehen, dass es schwerlich eine bessere Lösung gibt. \(P\) ist von \(D\) noch zu weit entfernt. RĂŒckt man ihn aber nĂ€her an \(D\), so muss man \(r\) verkleinern, damit die AbstĂ€nde zu \(A\) und \(C\) passen. Damit entfernt sich \(P\) aber zu weit von \(B\).

Wenn Du mehr dazu wissen möchtest, so melde Dich nochmal.

LĂ€sst man den Punkt \(B\) weg, so handelt es sich um das Problem der Apollonischen Kreise.

von 19 k

Hallo Werner,

ich habe Dir eine Mail geschickt bezĂŒglich des Kontextes, aus welchem die Aufgabe stammt.
Letztendlich schneiden sich in dem Punkt 4 Kreise, jedoch sind 3 Radien nur partiell bekannt und der Radius r von einem Punkt aus komplett unbekannt. Dieser Radius r mĂŒsste zu den partiell bekannten Radien addiert werden.

~draw~ kreis(1|1 2.2)#;kreis(1|7 4.1)#;kreis(9|1 7.3)#;kreis(9|7 8.1)#;punkt(1|1);punkt(1|7);punkt(9|1);punkt(9|7);punkt(2|3 "P"){F00};linienzug(1|1 1|7 9|7 9|1 1|1){0FF};linienzug(1|1 9|7){0FF};linienzug(1|7 9|1){0FF};zoom(10) ~draw~

Iterativ ist leider immer nur die zweitbeste Lösung aber natĂŒrlich machbar ĂŒber Code. Mich wĂŒrde halt interessieren, ob es nicht auch eine algebraische Lösung fĂŒr das Problem gibt.

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