Aloha :)
Ein Vektorraumhomomorphismus ist nur ein ungebräuchliches Wort für lineare Abbildung. In deiner Aufgabe wird der Polynomring R[x]≤3 aller Polynome vom Grad ≤3 auf den Polynomring R[x]≤2 aller Polynome vom Grad ≤2 abgebildet. Die Vorschrift dazu lautet: p→p′+p′′. Für die Elementarpolynome heißt das:1xx2x3→→→→012x+23x2+6xOder wenn man die Polynome voll ausschreibt:1⋅x0+0⋅x1+0⋅x2+0⋅x30⋅x0+1⋅x1+0⋅x2+0⋅x30⋅x0+0⋅x1+1⋅x2+0⋅x30⋅x0+0⋅x1+0⋅x2+1⋅x3→→→→0⋅x0+0⋅x1+0⋅x21⋅x0+0⋅x1+0⋅x22⋅x0+2⋅x1+0⋅x20⋅x0+6⋅x2+3⋅x2Oder wenn man nur die Koeffizienten in Vektoren einträgt:(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)→→→→(0,0,0)(1,0,0)(2,2,0)(0,6,3)Damit lässt sich die lineare Abbildung durch folgende Matrix realisieren (die Bilder der Elementarpolynome als Spalten eintragen):⎝⎛000100220063⎠⎞Du sollst nun die Transformation am Beispiel des Polynoms p(x)=1+x+x2+x3 bzw. anhand des Vektors (1,1,1,1) durchführen:
⎝⎛000100220063⎠⎞⋅⎝⎜⎜⎜⎛1111⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎛383⎠⎞Und tatsächlich ist p′(x)+p′′(x)=(1+2x+3x2)+(2+6x)=3x2+8x+3.