Funktion berechnen als Vektorraumhomomorphismus

Question

Ich habe folgendes Problem: Ich habe eine Aufgabe zum Thema Vektorraumhomomorphismen erhalten. Alles was wir bekommen haben ist folgende Abbildung und die Information, dass es sich bei F um ein Vektorraumhomomorphismus handelt.

$$F: \mathbb{R}\left[x\right]_{\leq 3} \rightarrow \mathbb{R}\left[x\right]_{\leq 2}$$

$$p\rightarrow p' + p''$$

 

Die Aufgabenstellung sagt jetzt, dass wir $$F(x^{3} + x^{2} + x+1)$$ berechnen sollen.

Allerdings verstehe ich nicht genau was ich hier jetzt eigentlich rechnen soll und was diese Rechnung mit Vektorraumhomomorphismen zutun hat.

LG

Wilmi

Comments

Zur Bewältigung der Aufgabenstellung musst du nur

$F(x^{3} + x^{2} + x+1)=[x^{3} + x^{2} + x+1]'+[x^{3} + x^{2} + x+1]''$

                                  $= 3x^2+2x+1 + 6x+2 = 3x^2+8x+3$

ausrechnen.

Answer 1

Aloha :)

Ein Vektorraumhomomorphismus ist nur ein ungebräuchliches Wort für lineare Abbildung. In deiner Aufgabe wird der Polynomring $\mathbb{R}[x]_{\le3}$ aller Polynome vom Grad $\le 3$ auf den Polynomring $\mathbb{R}[x]_{\le2}$ aller Polynome vom Grad $\le 2$ abgebildet. Die Vorschrift dazu lautet: $p\to p^\prime + p^{\prime\prime}$. Für die Elementarpolynome heißt das:$$\begin{array}{l}\\1&\to&0\\x&\to&1\\x^2&\to&2x+2\\x^3&\to& 3x^2+6x\end{array}$$Oder wenn man die Polynome voll ausschreibt:$$\begin{array}{l}1\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2+0\cdot x^3 &\to& 0\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2\\0\cdot x^0+1\cdot x^1+0\cdot x^2+0\cdot x^3 &\to& 1\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2\\0\cdot x^0+0\cdot x^1+1\cdot x^2+0\cdot x^3 &\to& 2\cdot x^0+2\cdot x^1+0\cdot x^2\\0\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2+1\cdot x^3 &\to& 0\cdot x^0+6\cdot x^2+3\cdot x^2\end{array}$$Oder wenn man nur die Koeffizienten in Vektoren einträgt:$$\begin{array}{l}(1,0,0,0)&\to& (0,0,0)\\(0,1,0,0)&\to&(1,0,0)\\(0,0,1,0)&\to&(2,2,0)\\(0,0,0,1)&\to&(0,6,3)\end{array}$$Damit lässt sich die lineare Abbildung durch folgende Matrix realisieren (die Bilder der Elementarpolynome als Spalten eintragen):$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 & 6\\0 & 0 & 0 &3\end{array}\right)$$Du sollst nun die Transformation am Beispiel des Polynoms $p(x)=1+x+x^2+x^3$ bzw. anhand des Vektors $(1,1,1,1)$ durchführen:

$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 & 6\\0 & 0 & 0 &3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\8\\3\end{array}\right)$$Und tatsächlich ist $p^\prime(x)+p^{\prime\prime}(x)=(1+2x+3x^2)+(2+6x)=3x^2+8x+3$.