Extremwertaufgabe: gleichschenkligen Dreieck ,Rechteck

Question

Aufgabe/Problem:

Bestimmen sie die Seitenlängen a,b und die Diagonalenlänge d desjenigen Rechtecks,

das einem gleichschenkligen Dreieck mit der basis c und der höhe hc eingeschrieben ist und minimale Diagonalenlänge hat.

Vielen Dank

Answer 1

Wenn eine Rechtecksseite auf die Grundseite c des Dreiecks fällt:

f(x) = h - h/(c/2)·x = h - 2·h/c·x

d² = (2·x)^2 + f(x)^2 = (2·x)^2 + (h - 2·h/c·x)^2 = 4·h^2·x^2/c^2 + 4·x^2 - 4·h^2·x/c + h^2

d²' = 8·x·(c^2 + h^2)/c^2 - 4·h^2/c = 0 --> x = c·h^2/(2·(c^2 + h^2))

Answer 2

Hauptbedingung: d²=(a/2)²+b²

Nebenbedingung: \( \frac{c-a}{2b} \) =\( \frac{c}{2h_c} \) .  

Answer 3

die Aufgabe lässt sich leicht lösen, wenn man das Dreieck schert. Betrachte dazu folgendes Bild:

https://jsfiddle.net/b85ok37m/

(verschiebe den Punkt \(X\) mit der Maus)

Das Dreieck \(\triangle ABC\) ist so geschert, dass die Grundseite \(AB=c\) auf \(M_cB'\) geschoben wird. Der Punkt \(C\) bleibt erhalten. Also aus \(\triangle ABC\) wird \(\triangle M_cB'C\). Alle horizontalen Abmessungen bleiben bei der Scherung erhalten. Folglich ist auch das Rechteck \(M_cQ'X'S'\) in den Abmessungen identisch zum Rechteck \(PQXS\).

Die minimale Länge der Diagonalen ist genau dann gegeben, wenn die Diagonale \(M_cX'\) senkrecht auf der Seite \(B'C\) steht. Seien \(|PQ|=|M_cQ'| = a\) und \(|QX|=|Q'X'|=b\) die Seiten des Rechtecks, so gilt im Fall der minimalen Diagonalen, wegen der Ähnlichkeit von \(\triangle M_cB'C\) und \(\triangle Q'X'M_c\):$$\frac ab = \frac {h_c}{c}$$Nach dem Strahlensatz gilt immer$$\frac{h_c-b}{a} = \frac{h_c}{c} \implies a = \frac{h_c-b}{h_c} c$$Einsetzen in obige Gleichung gibt$$\begin{aligned} \frac {\frac{h_c-b}{h_c} c}b &= \frac {h_c}{c} \\ h_c - b&= \left( \frac {h_c}{c}\right)^2 b \\ \implies b &= \frac{h_c}{1 + \left( \frac {h_c}{c}\right)^2}; \quad a = \frac {h_c}{1 + \left( \frac {h_c}{c}\right)^2} \cdot \frac{h_c}{c}\end{aligned}$$

Answer 4

So ?

Ich will jetzt erst einmal mittagessen.