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kann mir vielleicht jemand helfen, dieses Integral zu lösen? Danke schon einmal.


φ=34πφ=12πFGsφdφ\int_{φ=-\frac{3}{4}π}^{φ=-\frac{1}{2}π}\vec{F}_{G}*\frac{∂\vec{s}}{∂φ}*dφ

FG=mg(010)\vec{F}_{G}=-mg\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}

s(φ)=(rcos(φ)rsin(φ)0)\vec{s}(φ)=\begin{pmatrix} r*cos(φ)\\r*sin(φ)\\0 \end{pmatrix} mir r=1

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F \vec{F} ist (0mg0) \begin{pmatrix} 0\\-mg\\0 \end{pmatrix} und die Ableitung von s \vec{s} ist (sinφcosφ0) \begin{pmatrix} -sin φ\\cos φ\\0 \end{pmatrix} .


Das Skalarprodukt davon ist -m·g·cos φ und das Kreuzprodukt (00m · g · sinφ) \begin{pmatrix} 0\\0\\m·g·sin φ \end{pmatrix} .


Als Lösung komme ich auf (1-12 \frac{1}{\sqrt{2}} ) m g wenn es sich um ein Sklarprodukt handelt und auf (0021/2 · m · g) \begin{pmatrix} 0\\0\\-2^{-1/2}·m·g \end{pmatrix} wenn es sich um ein Kreuzprodukt handelt. Das Integral einer Vektorfunktion wird komponentenweise berechnet.

Avatar von 47 k

Das Skalarprodukt ist   - m·g·cos(φ)   →   Lösung  (1-12 \frac{1}{\sqrt{2}} ) m g

Das Kreuzprodukt benötigt man hier wohl nicht.

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Aloha :)

Das Integral vereinfacht sich stark, weil nur die y-Komponenten von 0 verschieden ist:

3π/4π/2FGsφdφ=3π/4π/2mgφ(1sinφ)dφ\int\limits_{-3\pi/4}^{-\pi/2}\vec F_G\cdot\frac{\partial \vec s}{\partial\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{-3\pi/4}^{-\pi/2}-mg\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(1\cdot\sin\varphi\right)\,d\varphiAbleitung und nachfolgende Integration von sinφ\sin\varphi "kompensieren sich", sodass weiter:

=mg[sinφ]3π/4π/2=mg(1+12)=mg(1122)=-mg\,\left[\sin\varphi\right]_{-3\pi/4}^{-\pi/2}=-mg\left(-1+\frac{1}{\sqrt2}\right)=mg\left(1-\frac{1}{2}\sqrt2\right)

Avatar von 153 k 🚀

Danke erstmal für die Antwort. Aber wieso 1*sin phi? und nicht cos?

Wir brauchen ja nur die y-Komponente zu betrachten, weil alle anderen Komponenten von FG\vec F_G verschwinden. Die y-Komponente von s(φ)\vec s(\varphi) ist rsin(φ)=1sinφr\,\sin(\varphi)=1\cdot\sin\varphi. Die muss nun nach φ\varphi abgeleitet und danach wieder nach dφd\varphi integriert werden. Das kann man sich nach dem 1. Hauptsatz der Infinitesimalrechnung sparen.

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