Wie kann ich dieses Integral lösen?

Question

kann mir vielleicht jemand helfen, dieses Integral zu lösen? Danke schon einmal.

$$\int_{φ=-\frac{3}{4}π}^{φ=-\frac{1}{2}π}\vec{F}_{G}*\frac{∂\vec{s}}{∂φ}*dφ$$

$$\vec{F}_{G}=-mg\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

$$\vec{s}(φ)=\begin{pmatrix} r*cos(φ)\\r*sin(φ)\\0 \end{pmatrix}$$ mir r=1

Answer 1

$\vec{F}$ ist $\begin{pmatrix} 0\\-mg\\0 \end{pmatrix}$ und die Ableitung von $\vec{s}$ ist $\begin{pmatrix} -sin φ\\cos φ\\0 \end{pmatrix}$.

Das Skalarprodukt davon ist -m·g·cos φ und das Kreuzprodukt $\begin{pmatrix} 0\\0\\m·g·sin φ \end{pmatrix}$.

Als Lösung komme ich auf (1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$) m g wenn es sich um ein Sklarprodukt handelt und auf $\begin{pmatrix} 0\\0\\-2^{-1/2}·m·g \end{pmatrix}$ wenn es sich um ein Kreuzprodukt handelt. Das Integral einer Vektorfunktion wird komponentenweise berechnet.

Comments

Das Skalarprodukt ist   - m·g·cos(φ)   →   Lösung  (1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$) m g

Das Kreuzprodukt benötigt man hier wohl nicht.

Answer 2

Aloha :)

Das Integral vereinfacht sich stark, weil nur die y-Komponenten von 0 verschieden ist:

$$\int\limits_{-3\pi/4}^{-\pi/2}\vec F_G\cdot\frac{\partial \vec s}{\partial\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{-3\pi/4}^{-\pi/2}-mg\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(1\cdot\sin\varphi\right)\,d\varphi$$Ableitung und nachfolgende Integration von $\sin\varphi$ "kompensieren sich", sodass weiter:

$$=-mg\,\left[\sin\varphi\right]_{-3\pi/4}^{-\pi/2}=-mg\left(-1+\frac{1}{\sqrt2}\right)=mg\left(1-\frac{1}{2}\sqrt2\right)$$

Comments

Danke erstmal für die Antwort. Aber wieso 1*sin phi? und nicht cos?

---

Wir brauchen ja nur die y-Komponente zu betrachten, weil alle anderen Komponenten von $\vec F_G$ verschwinden. Die y-Komponente von $\vec s(\varphi)$ ist $r\,\sin(\varphi)=1\cdot\sin\varphi$. Die muss nun nach $\varphi$ abgeleitet und danach wieder nach $d\varphi$ integriert werden. Das kann man sich nach dem 1. Hauptsatz der Infinitesimalrechnung sparen.