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Aufgabe:

\( f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1} \)

W= ?

Problem/Ansatz:

Ich habe die Definitionsmenge berechnet und zwar kam heraus:

Df = ] -∞ ; -1 [ U ] 1; ∞ [

Wf soll R\{0} sein, doch wie kommt man darauf?

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Hallo

 im Def. Bereich ist (x+1)/(x-1)>1 also der ln >0 und für x->+1 wird der Bruch beliebig groß und damit ln auch.

Gruß lul

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Aloha :)

Der Definitonsbereich ist korrekt. Ich fasse das einfach als Bedingung \(|x|>1\) zusammen:$$f(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad;\quad |x|>1$$Zur Bestimmung des Wertebereichs, wählen wir ein \(y\in\mathbb{R}\) beliebig als Funktionswert \(f(x)\) aus und versuchen, ein \(x\) mit \(|x|>1\) zu finden, sodass \(f(x)=y\) ist. Wenn uns das gelingt, wissen wir, dass das ausgewählte \(y\) zur Wertemenge gehört.

$$\left.y=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2y=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad\right|\;e^\cdots$$$$\left.e^{2y}=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\quad\right|\;-1$$$$\left.e^{2y}-1=\frac{2}{x-1}\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1}{e^{2y}-1}=\frac{x-1}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.\frac{2}{e^{2y}-1}=x-1\quad\right|\;+1$$$$\left.x=1+\frac{2}{e^{2y}-1}\quad\right.$$Wir stellen sofort fest, dass es für \(y=0\) kein passendes \(x\) gibt, denn \(e^{2\cdot0}-1=0\), d.h. für \(y=0\) würden wir durch \(0\) dividieren.

Falls wir ein \(y>0\) wählen, ist \(e^{2y}-1>0\) und daher \(x>1\). Das heißt, alle \(y>0\) liegen im Wertebereich, weil wir ein passendes \(x>1\) aus dem Definitionsbereich angeben können, das auf \(y\) abbildet.

Falls wir ein \(y<0\) wählen, gilt:$$0<e^{2y}<1\;\;\Rightarrow\;\;-1<e^{2y}-1<0\;\;\Rightarrow\;\;-1>\frac{1}{e^{2y}-1}\;\;\Rightarrow\;\;-2>\frac{2}{e^{2y}-1}$$$$\Rightarrow\;\;-1>1+\frac{2}{e^{2y}-1}\;\;\Rightarrow\;\;x<-1$$Das heißt, alle \(y<0\) liegen im Wertebereich, weil wir ein passendes \(x<-1\) aus dem Definitionsbereich angeben können, das auf \(y\) abbildet.

Die Wertemenge ist daher \(W=\mathbb{R}^{\ne0}\).

~plot~ 0,5*ln((x+1)/(x-1)) ~plot~

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leider würde ich nicht drauf kommen bzw. bräuchte viel Zeit für das in einer Prüfung

wie findest du die Antwort von lul?

Halb vollständig. lul hat gezeigt, dass \(\mathbb{R}^{>0}\) zur Wertemenge gehört.

aber wenn man's auch bei \( \frac{x+1}{x-1} \) > 0 → ln \( \frac{x+1}{x-1} \) < -1 dann kommt drauf, dass R<0 auch, oder?

oder ich glaub, ich berechne die Grenzwerte und ermittle dann die Wertemenge skizzerisch

Du kannst zeigen, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist:

$$f(-x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{(-x)+1}{(-x)-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right)$$$$=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=-f(x)$$Wenn das gezeigt ist, reicht es aus, \(x>1\) zu betrachten. Für \(x<-1\) bekommst du ja genau die negativen Funktionswerte. Und für \(x>1\) kannst du lul's Interpretation verwenden.

Mit deinem richtigen Definitionsbereich  Df = ] -∞ ; -1 [ U ] 1; ∞ [

Tschaka's Punktsymmetrie zum Ursprung  und

 lul's \( \lim\limits_{x\to1+}f(x) = ∞ \)  sowie  f(x)>0 für x∈]1,∞[

fehlt nur noch (mein)  \( \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 :\)

\( \lim\limits_{x\to\infty} ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to\infty} ln\left(\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right)=0\)

für Wf = ℝ\{0}

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(x+1)/(x-1) =

(x-1+2)/(x-1)=1-2/(x-1)

Die innere Funktion nimmt alle Werte ungleich 1 an.

Wenn du davon nun den Logarithmus nimmst, hast du alle Werte in R, es fehlt nur

1/2*ln(1)=0

Also W_f =R/{0}

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