Berechnen Sie die Hessematrix von f an der Stelle (0 -1)

Question

Gegeben sei die Funktion f: R² → R: x → (4/5) (x-y²)^{5}

Berechnen Sie die Hessematrix von f an der Stelle \( \begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} \).

Ansatz:

H_f (  \( \begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} \) ) =

Ist mein Versuch richtig?

Answer 1

Aloha :)

Für die Hesse-Matrix brauchst du die zweiten partiellen Ableitungen:$$f(x,y)=\frac{4}{5}(x-y^2)^5$$$$\frac{\partial f}{\partial x}=4(x-y^2)^4$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=4(x-y^2)^4\cdot(-2y)=-8y(x-y^2)^4$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=16(x-y^2)^3$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-32y(x-y^2)^3$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-8(x-y^2)^4-32y(x-y^2)^3(-2y)=-8(x-y^2)^3\left(x-9y^2\right)$$Für \(x=0\) und \(y=-1\) lautet dann die Matrix der 2-ten Ableitungen:$$H=\begin{pmatrix}16(x-y^2)^3 & -32y(x-y^2)^3\\-32y(x-y^2)^3 & -8(x-y^2)^3\left(x-9y^2\right)\end{pmatrix}(0,-1)=\begin{pmatrix}-16 & -32\\-32 & -72\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank

noch einmal ^^