Richtungsableitung - Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y)=x e^{y}

Question

Aufgabe:

Bestimme die Richtungsableitung von \( f(x, y)=x e^{y} \) im Punkt \( \mathbf{a}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1\end{array}\right) \) in Richtung \( \mathbf{v}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -3\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

x=-1+t*2    y=1-3*t

1) c(t)=f(-1+t*2)e^(1-3*t)

und das ableiten

2) c´(t)=-(6*t-5)*e^1-3*t

und das 0 setzten und ausrechnen

3) solve(-(6*t-5)*e^1-3*t=0,t) t=0,8333

was muss ich jetzt machen damit ich auf die Lösung 13,59 komme?

Comments

partielle Ableitungen f_x und f_y sowie

r = v    und  (x₀ , y₀ ) =  (a₁ , a₂ ) = (-1, 1)

in die umrahmte Formel für f_r einsetzen:                 [r ist ein Vektor]

Answer 1

Die Richtungsableitung einer Funktion \( f \) im Punkt \( a = \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \) und in Richtung \( v = \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix}\) berechnet sich durch

$$ f'_v(a) = \lim_{t \to 0 } \frac{ f \left( a + t \frac{v} {|v| }\right) - f(a)  } { t } = \lim_{t \to 0 } \frac{ \left(-1+\frac{2} {\sqrt{13} } t \right) e^{1-\frac{3} {\sqrt{13} } t } + e } { t } \approx \\ e \ \lim_{t \to 0 } \frac{ \left(-1+\frac{2} {\sqrt{13} } t \right) \left(  1 - \frac{3} {\sqrt{13} } \right) + 1 } { t } = e \ \lim_{t \to 0 } \frac{\frac{5}{\sqrt{13}}t-\frac{6}{13}t^2  } { t } = \frac{5}{\sqrt{13}} e \approx 3.77 $$

Comments

... muss man jetzt nicht noch durch \(|v|= \sqrt{13}\) dividieren? ... oder wäre die Richtungsableitung nach \(v=(4|\, - 6)\) dann \(=10e\)?

also eine andere, obwohl es doch 'in Richtung' heißt?

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Da hast Du recht. Ich habe vergessen den Richtungsvektor zu normieren. Habe meine Antwort oben korrigiert.