Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} auf U2 = ⟨w1,w2⟩

Question

Aufgabe:

Sei R⁴ mit dem standard Skalarprodukt versehen.
Seien

w1 = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , w2 = \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , w3 = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) , w4 = \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{pmatrix} \) .

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \) auf U₂ = ⟨w₁,w₂⟩

Musterlösung:

v₁ = w₁ / ||w₁|| = 1/\( \sqrt{3} \) . \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

m₂=w₂ - ⟨w₂,v₁⟩v₁ = w₂

v₂ = m₂ / ||m₂|| = 1/\( \sqrt{2} \). \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

U =  ⟨w₁,w₂⟩=  ⟨v₁,v₂⟩

w = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

v= ⟨w,v₁⟩v₁ + ⟨w,v₂⟩v₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Frage:

Was passiert hier? Kann jemand bitte zusammenfassen? Was bedeutet m?

Comments

Hier wurde das gram schmidt orthogonalisierungsverfahren angewendet.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

Answer 1

Wie schon im Kommentar bemerkt, wird hier aus der gegebenen Basis w1,ws

von U2 eine Orthonormalbasis v1, v2 gemacht.

Das m ist das v2' bei Wikipedia : (m vielleicht wegen "Mittel"; denn das ist ja das Mittel

zur Bestimmung des 2. Basisvektors.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

Und wenn du nun eine Orthonormalbasis v1, v2 hast, dann gilt ja für die Skalarprodukte

<v1,v2>=0 und jeder mit sich selbst gleich 1.

Und durch v= ⟨w,v1⟩v1 + ⟨w,v2⟩v2 erhältst du dann die orthogonale Projektion;

denn deren Differenz mit w muss ja im orthogonalen Kompßlement von U2 liegen,

also sowohl mit v1 als auch mit v2 das Skalarprodukt 0 haben. Dass dem so

ist kannst du leicht nachrechnen, ich rechne es mal für v1 vor:

< v1 , ⟨w,v1⟩v1 + ⟨w,v2⟩v2  - w >

=< v1 , ⟨w,v1⟩v1 >  + <v1, ⟨w,v2⟩v2 >  - < v1,w>

= <w,v1>*< v1 , v1 > + ⟨w,v2⟩*<v1,v2 > - <v1,w> 

und jetzt wird die Orthonormalität ausgenutzt:

= <w,v1>*1  + ⟨w,v2⟩*0  - <v1,w>

= <w,v1> - <v1,w>  = 0.

Mit v2 entsprechend.