Wie groß ist die verbliebene Fläche (grau) genau?

Question

Aus einem Kreis mit einem Radius 10 LE werden 4 "Ecken" ausgeschnitten (siehe Abbildung). Wie groß ist die verbliebene Fläche (grau) genau?

Comments

A =  50*(2π - 8*tan^-1(7^-0,5) + 7^0,5 - 1)

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Vom Duplikat:

Titel: Welchen Flächeninhalt hat ein Kreis, dem vier "Ecken" fehlen?

Stichworte: geometrie,kreis,satz-des-pythagoras,flächeninhalt

Aufgabe:

Ein Kreis hat den Durchmesser 10. Aus diesem Kreis sind vier Ecken herausgeschnitten (Winkel in den Ecken=90° und die Ecken sind symmetrisch zueinander Angeordnet). Die Kantenlänge der Ecken beträgt 1. Welchen Flächeninhalt hat der übrige  Kreis?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so recht wie man anfangen soll, bzw. was man berechnen könnte. Vielen Dank!!!

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Mach mal ne Skizze und davon ein Foto.

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Ich hoffe man kann grob erkennen was gemeint ist, ist nicht besonders schön geworden ;-)

Die leere weiße Fläche ist zu berechnen.

Answer 1

Spät, aber selbst gerechnet. :-)

$$A=50\cdot(-1+\sqrt7)+400\cdot\arcsin(0.25\cdot(-1+\sqrt7))\approx251.900$$

Rechenweg:

Den horizontalen bzw. vertikalen Abstand zweier Ecken nenne ich 2x.

Ich betrachte das obere rechte Viertel des Kreises.

Vom Kreismittelpunkt x nach oben, x+5 nach rechts und zurück zum Mittelpunkt liefert ein rechtwinkliges Dreieck mit dem x bestimmt werden kann.

x=2.5(-1+√7)

Mit dem gleichen Dreieck lässt sich der Winkel α bestimmen, der rechts oben im Dreieck liegt. sinα=x/10

Der gleiche Winkel liegt am Kreismittelpunkt und spannt einen Sektor zwischen dem "Ostpunkt" und der rechten Ecke des Ausschnitts auf. Von diesem Sektor gibt es acht kongruente Exemplare in der grauen Fläche.

8*π*10²*α/(2π)=400α

Die restliche graue Fläche besteht sus acht kongruenten stumpfwinkligen Dreiecken mit g=5 und h=x.

8*g*h/2=20x=50(-1+√7)

Nun noch beides addieren, fertig.

Comments

Da ich gefunden habe , wie cos a auch geschrieben werden kann ist unsere Lösung fast identisch.
Gruß, Hogar

Answer 2

$$10^2\cdot\pi - 5^2\cdot\pi = 75\cdot\pi$$

Comments

Das Zusammensetzen der 4 ausgeschnittenen Ecken bildet keinen Kreis:

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Stimmt, das habe ich nicht beachtet! :-(

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$$A = 10^2\cdot\pi - 2\cdot 5^2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} -1 \right) - 2\cdot 10^2 = 75\cdot\left(\pi-2 \right)$$ Vom Vollkreis habe ich zunächst die vier Dreiecke und sodann die vier Abschnitte abgezogen.

PS: Einen Fehler habe ich noch gefunden, vielleicht gibt es noch weitere.

Answer 3

Ich betrachte mal nur den Abschnitt, reicht das?

Edit: Aufgabe rauskehrtumbracht...

Ich hab die Werte falsch übertragen - Korrektur ===> siehe Kommentar unten

Comments

Als Einstieg schon besser als die andere Antwort. Angaben wie a=35,33 sind hier entbehlich. Worauf bezieht sich die Angabe 1/6·(50π+75·√3 - 75)?

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Nun ist die eingezeichnete Fläche 1/8 der gesuchten?

Die Angaben beziehen sich auf die eingefärbte Fläche einmal der numerische Wert und der exakte Wert...

Die Fläche unter dem Kreis 0...5 

$\frac{50 \; \pi + 75 \; \sqrt{3}}{6}$

davon geht das halbe Rechteck ab

- 25/2

damit die gesamte Fläche

$\frac{200}{3} \; \pi + 100 \; \sqrt{3} - 100$

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Warum steht da auf der x und y Achse eine 5?

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Betrachte die Abbildung der Fragestellung.

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Genau, in der Abbildung steht da nichts.

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Ist das nichts?

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Doch, das ist was, aber das ist die Aufgabe und nicht die Zeichnung der Antwort.

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Über dem Bild in dem Kommentar steht:

Das Zusammensetzen der 4 ausgeschnittenen Ecken ...

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Yep, ich hab falsch übertragen. So muß es aussehen

$25 \cdot \frac{8 \; \operatorname{sin⁻^1} \left( \frac{\sqrt{7} - 1}{4} \right) + \sqrt{7} - 1}{4}$*8 = 251.9 was dem von hj entspricht....

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Wird wohl stimmen, wir rechnen ja manchmal anders, doch da fehlt noch etwas.(Auch bei hj)

Answer 4

$$A=(50(2pi-8*arcsin(2^{-1,5}))$$$$+400*2^{-1,5}cos(arcsin (2^{-1,5}))$$$$-50)LE^2$$

Oder auch

$$A=(50(2pi-8*arcsin(2^{-1,5}))$$$$+50*\sqrt{7}-50)LE^2$$

Da die Frage nach der genauen Fläche gestellt worden war, verzichte ich auf die Berechnung der ungefähren Fläche .

Scheinbar ist es nötig meine Formel zu erklären.

Ich habe die Sehne berechnet.

$$s=5*2^{-0,5}=10*2^{-1,5}$$

$$s/2=10*2^{-2,5}$$

Dann den Winkel α

$$sin (α)=s/2/10=2^{-2,5}$$

$$α = arcsin(2^{-2,5})$$

$$cos (α)=cos (arcsin(2^{-2,5})$$

Vom Vollkreis habe ich dann

Ein Teil der Grauen Fläch ist also

$$A_1= 50*(2pi-8*arcsin(2^{-1,5}))$$$$≈169,6124$$

Der nächste Teil ist die Fläche der Dreiecke die durch den Mittelpunkt und den Sehnenschnittpunkten gebildet werden, da wir davon 4 haben mal 4

$$A_2=400*2^{-1,5}cos(arcsin (2^{-1,5})$$$$≈132 2876$$

Wer will kann das noch vereinfachen

denn

$$A_2=400*2^{-1,5}cos(arcsin (2^{-1,5})$$$$=50*\sqrt{7}≈132,2876$$

Doch halt, das war zuviel, davon muss ich noch diese 4 kleinen 5×5 Dreiecke abziehen

$$A_3=-50$$

Damit

$$A=A_1+A_2+A_3≈251,9000LE^2$$

So wie oben dargestellt.

Ich habe also die Torte in 4 ganze Tortenstücke

$$A_1$$

Und 4 angeknabberte Tortenstücke

$$A_2 +A_3= A_2 -50$$

aufgeteilt.

Comments

In den Kommentaren von hj2166 und wächter steht jeweils die richtige Antwort. Vergleiche deine damit.

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Ja, ich hatte mich verschrieben.

habe ich geändert.

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Zum besseren Verständnis  habe ich meine Antwort überarbeitet.

Ich gehe davon aus, dass die anderen auch genannten Lösungen auch richtig sind, habe es aber nicht kontrolliert.

Zumindest kann ich jetzt bei meiner Lösung keinen Fehler entdecken.

Bin aber für jeden Hinweis dankbar.

Gruß, Hogar

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Ja, ich konnte noch etwas kürzen.

Der Weg war anders, doch das Resultat stimmt zumindest ungefähr überein.

$$≈251,9000 LE^2$$

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Heute Morgen hatte ich übersehen, dass man sin α * cos α noch vereinfachen kann zu

$$sin( α )* cos (α) =$$$$\frac{\sqrt{7}}{8}$$

Das wurde zumindest einmal in der Antwort gezeigt.

Answer 5

Die 4 "Ecken" bilden zusammen einen Kreis mit r=1,

der hätte Flächeninhalt A1 = 1² * pi =  pi

Der große Kreis hat A2 = 5² * pi = 25pi

Also ist die weiße Fläche 25pi - 1pi = 24pi ≈75,4

Comments

Die 4 "Ecken" bilden zusammen einen Kreis mit r=1,

Nö

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Wie soll das hier je ein Wiki werden, wenn ihr immer nur die Fragesteller dazu anhaltet, die Historie zu studieren und es dann nicht mal als Antwortgeber selber tut.

Answer 6

Berechne: 4·($\int\limits_{0}^{3}$$\sqrt{25-x^2}$ dx+($\int\limits_{4}^{5}$$\sqrt{25-x^2}$ dx+3)

Answer 7

A = pi·5² - 4·1/2·1² - 4·(5²·arcsin(√2/(2·5)) - √2·√(4·5² - √2²)/4) = - 100·arctan(1/7) + 25·pi + 12 = 76.35

Comments

Es gilt nur - 100·arctan(1/7) + 25·pi + 12 ≈ 76.35.

(Übrigens auch meine Rechnung hat diese Lösung.)

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A=12+100arcsin(0,6)