Logarithmusgleichung; Ist die Gleichung (100x) hoch lgx = 100 lösbar?

Question

Logarithmusgleichung; Ist die Gleichung (100x) hoch lgx = 100 lösbar?

3 Antworten

Ein anderes Problem?

JotEs · Answer 1 · 2014-01-26T12:19:45+0000

Die Gleichung ist tatsächlich analytisch lösbar, also auch ohne Näherungsverfahren. Allerdings hängt die Lösung von der Basis b des Logarithmus ab.

So kann man die Gleichung nach x auflösen:

${ (100x) }^{ \log _{ b }{ x } }=100$ $\Leftrightarrow \log _{ b }{ { ((100x })^{ \log _{ b }{ x } }) } =\log _{ b }{ 100 }$ $\Leftrightarrow \log _{ b }{ x } *\log _{ b }{ { (100x }) } =\log _{ b }{ 100 }$ $\Leftrightarrow \log _{ b }{ x } *(\log _{ b }{ { 100+\log _{ b }{ x } }) } =\log _{ b }{ 100 }$ $\Leftrightarrow { (\log _{ b }{ x) } }^{ 2 }+\log _{ b }{ 100* } \log _{ b }{ x } =\log _{ b }{ 100 }$ $\Leftrightarrow { (\log _{ b }{ x) } }^{ 2 }+\log _{ b }{ 100* } \log _{ b }{ x }+{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } }\\=\log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }$ $\Leftrightarrow { \log _{ b }{ x } }+{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) } }=\pm \sqrt { \log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } }$ $\Leftrightarrow { \log _{ b }{ x } }=\pm \sqrt { \log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } } -{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) } }$ $\Leftrightarrow x={ b }^{ \pm \sqrt { \log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } } -{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 } }{ 2 } \right) } } }$

Beispiel:

Setze b = e, dann:

${ (100x })^{ \ln { x } }=100$ $\Leftrightarrow x={ e }^{ \pm \sqrt { \ln { 100 } +{ \left( \frac { \ln { 100 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } } -{ { \left( \frac { \ln { 100 } }{ 2 } \right) } } }$ $\Leftrightarrow$ $x=0.0042957...$ $x=2,327895...$

n-pn-null · Answer 2 · 2017-02-03T16:13:30+0000

Auch wenn der Thread schon älter ist, die Lösungen die bisher angegeben wurden, finde ich persönlich etwas umständlich. Das Newton-Verfahren wird nicht benötigt, um diese Gleichung zu lösen.

1. Die Gleichung wird erstmal durch Termumformungen vereinfacht. Dazu muss man die Logarithmusgesetze kennen:

(100x)^{\lg x} = 100\\\Leftrightarrow \lg x * \lg(100x) = \lg 100\\\Leftrightarrow \lg x * [\lg 100 + \lg(x)] = \lg 100\\\Leftrightarrow \lg x * [2 + \lg(x)] = 2\\\Leftrightarrow \lg{(x)}^2 + 2\lg{(x)} - 2 = 0

2. Auflösen mit p-q-Formel ergibt:

\lg{(x)} = -1+\sqrt{3} \\ \lg{(x)} = -1-\sqrt{3}

3. Auflösen nach x ergibt die Lösungsmenge:

L = \{10^{-1+\sqrt{3}}; 10^{-1-\sqrt{3}}\}

Wenn man die Lösung nicht als Dezimalbruch darstellen will, benötigt man also keinen Taschenrechner, um die Lösungsmenge dieser Gleichung anzugeben.

Unknown · Answer 3 · 2014-01-26T12:17:04+0000

Hab mal meinen Kommentar als Antwort ;).

Moin Herb.

Ne Lösung gibts. Nur diese rauszufinden...ich würde sagen da brauchts en Näherungsverfahren.

Vereinfacht könnte man hierzu (100x)^{lg x} = 100^{lg x}*x^{lg x} = x²*x^{lg x} = x^{2+lg x} schreiben.

Dann wäre das Newtonverfahren wohl eine Option?

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Habs jetzt nicht ausprobiert, da ich nicht ableiten wollt....

Lösung über Bild:

Es ergeben sich die beiden Lösungen (mit TR):

x₁ ≈ 0,0018533

x₂ ≈ 5,3957374

(Die erste Lösung mag man im Schaubild nicht erkennen, da aber für x->0⁺ das ganze gegen ∞ strebt, muss es auch nahe 0 eine Stelle x geben, welche den Funktioswert 100 hat).

Grüße

Logarithmusgleichung; Ist die Gleichung (100x) hoch lgx = 100 lösbar?

3 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: