Logarithmusgleichung; Ist die Gleichung (100x) hoch lgx = 100 lösbar?

Question

ist die Gleichung (100x) hoch lgx = 100 lösbar?

Gibt es eine plausible Begründung/Regel/Gesetz aus der/dem die Unlösbarkeit sofort folgen würde?


Danke+Gruß

Herb

Comments

Moin Herb.

Ne Lösung gibts. Nur diese rauszufinden...ich würde sagen da brauchts en Näherungsverfahren.

Vereinfacht könnte man hierzu (100x)^{lg x} = 100^{lg x}*x^{lg x} = x^2*x^{lg x} = x^{2+lg x} schreiben.

Dann wäre das Newtonverfahren wohl eine Option?

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Habs jetzt nicht ausprobiert, da ich nicht ableiten wollt....

 

Lösung über Bild:

 

Es ergeben sich die beiden Lösungen (mit TR):

x₁ ≈ 0,0018533

x₂ ≈ 5,3957374

(Die erste Lösung mag man im Schaubild nicht erkennen, da aber für x->0⁺ das ganze gegen ∞ strebt, muss es auch nahe 0 eine Stelle x geben, welche den Funktioswert 100 hat).

 

Grüße

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Wolframalpha würde das auch numerisch Lösen. Warum schreibst du das nicht als Antwort?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28100·x%29%5ELOG%2810%2C+x%29+%3D+100

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Du meinst meinen Kommentar als Antwort, oder den wolfram-Link?

Bin kein Freund von Antworten, die nur den Link enthalten. Damit habe ich dem Fragesteller bestimmt nicht allzuweit weitergeholfen :P.

Answer 1

Die Gleichung ist tatsächlich analytisch lösbar, also auch ohne Näherungsverfahren. Allerdings hängt die Lösung von der Basis b des Logarithmus ab.

So kann man die Gleichung nach x auflösen:

$${ (100x) }^{ \log _{ b }{ x }  }=100$$$$\Leftrightarrow \log _{ b }{ { ((100x })^{ \log _{ b }{ x }  }) } =\log _{ b }{ 100 }$$$$\Leftrightarrow \log _{ b }{ x } *\log _{ b }{ { (100x }) } =\log _{ b }{ 100 }$$$$\Leftrightarrow \log _{ b }{ x } *(\log _{ b }{ { 100+\log _{ b }{ x }  }) } =\log _{ b }{ 100 }$$$$\Leftrightarrow { (\log _{ b }{ x) }  }^{ 2 }+\log _{ b }{ 100* } \log _{ b }{ x } =\log _{ b }{ 100 }$$$$\Leftrightarrow { (\log _{ b }{ x) }  }^{ 2 }+\log _{ b }{ 100* } \log _{ b }{ x }+{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } }\\=\log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { \log _{ b }{ x }  }+{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  } }=\pm \sqrt { \log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow { \log _{ b }{ x }  }=\pm \sqrt { \log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } -{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  } }$$$$\Leftrightarrow x={ b }^{ \pm \sqrt { \log _{ b }{ 100 } +{ \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } -{ { \left( \frac { \log _{ b }{ 100 }  }{ 2 }  \right)  } } }$$

Beispiel:

Setze b = e, dann:

$${ (100x })^{ \ln { x }  }=100$$$$\Leftrightarrow x={ e }^{ \pm \sqrt { \ln { 100 } +{ \left( \frac { \ln { 100 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } -{ { \left( \frac { \ln { 100 }  }{ 2 }  \right)  } } }$$$$\Leftrightarrow$$$$x=0.0042957...$$$$x=2,327895...$$

Comments

Mit lg ist typischerweise log₁₀ gemeint.

 

Sehr schön!

Daumen zum Hochpumpen^^.

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Mit lg ist typischerweise log₁₀ gemeint.

Ich weiß, aber sooo einfach wollte ich es mir ja nun auch wieder nicht machen ... :-)

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Ts, ein Angeber :D.

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort, kann ich gut nachvollziehen.

Bin dabei etwas überrascht.. in einem Buch hatte ich gelesen, Log-Gleichungen,

bei denen -außer im Log selber- noch an anderer Stelle das x vorkommt, seien nicht lösbar....


Seis drum..  Danke JotEs

Grüße, Herb

Answer 2

Auch wenn der Thread schon älter ist, die Lösungen die bisher angegeben wurden, finde ich persönlich etwas umständlich. Das Newton-Verfahren wird nicht benötigt, um diese Gleichung zu lösen.

1. Die Gleichung wird erstmal durch Termumformungen vereinfacht. Dazu muss man die Logarithmusgesetze kennen:
$$ (100x)^{\lg x} = 100\\\Leftrightarrow \lg x * \lg(100x) = \lg 100\\\Leftrightarrow \lg x * [\lg 100 + \lg(x)] = \lg 100\\\Leftrightarrow \lg x * [2 + \lg(x)] = 2\\\Leftrightarrow \lg{(x)}^2 + 2\lg{(x)} - 2 = 0$$
2. Auflösen mit p-q-Formel ergibt:
$$ \lg{(x)} = -1+\sqrt{3} \\ \lg{(x)} = -1-\sqrt{3} $$
3. Auflösen nach x ergibt die Lösungsmenge:
$$ L = \{10^{-1+\sqrt{3}}; 10^{-1-\sqrt{3}}\} $$
Wenn man die Lösung nicht als Dezimalbruch darstellen will, benötigt man also keinen Taschenrechner, um die Lösungsmenge dieser Gleichung anzugeben.

Answer 3

Hab mal meinen Kommentar als Antwort ;).

 

Moin Herb.

Ne Lösung gibts. Nur diese rauszufinden...ich würde sagen da brauchts en Näherungsverfahren.

Vereinfacht könnte man hierzu (100x)^{lg x} = 100^{lg x}*x^{lg x} = x^2*x^{lg x} = x^{2+lg x} schreiben.

Dann wäre das Newtonverfahren wohl eine Option?

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Habs jetzt nicht ausprobiert, da ich nicht ableiten wollt....

 

Lösung über Bild:

 

Es ergeben sich die beiden Lösungen (mit TR):

x₁ ≈ 0,0018533

x₂ ≈ 5,3957374

(Die erste Lösung mag man im Schaubild nicht erkennen, da aber für x->0⁺ das ganze gegen ∞ strebt, muss es auch nahe 0 eine Stelle x geben, welche den Funktioswert 100 hat).

 

Grüße