Formel von Euler ableiten

Question

Aufgabe:

Leiten Sie die Formel von Euler aus der Definition der komplexen Exponentialfunktion her, indem Sie x = 0 setzen, also z = iy

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll

Comments

Wie lautet denn Eure "Definition der komplexen Exponentialfunktion"?

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Vom Euler gibt es mehrere Formeln...

Answer 1

Mit dem gegebenen Tipp hast du:

statt $exp(z) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$

jetzt also $exp(iy) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(iy)^n}{n!}$

Und jetzt teilst du es in die Summanden mit geraden und ungeraden

Index auf, also

$exp(iy) = \sum \limits_{k=0}^{\infty} (\frac{(iy)^{2k}}{(2k)!}+\frac{(iy)^{2k+1}}{(2k+1)!})$

und dann in 2 Summen

$exp(iy) = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(iy)^{2k}}{(2k)!} + \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(iy)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{i^{2k}\cdot y^{2k}}{(2k)!} + \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{i^{2k+1}\cdot y^{2k+1}}{(2k+1)!}$

Nun ist ja $i^{2k}= (i^2)^k = (-1)^k$

und entsprechend $i^{2k+1}= i\cdot (i^2)^k = i\cdot(-1)^k$

und damit kannst du fortsetzen

$= \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot y^{2k}}{(2k)!} + \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{i \cdot (-1)^{k}\cdot y^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot y^{2k}}{(2k)!} + i \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot y^{2k+1}}{(2k+1)!}$

und das sind ja jetzt genau die Reihen für cos und sin, also ist das

= cos(y) + i * sin(y) .