Konstruiere eine stetige bijektive Abbildung In diesem Form

Question

Aufgabe:

Konstruiere eine stetige bijektive Abbildung \( f: \mathbb{R} \rightarrow(-1,1) \).

Die Funktion kann so gewählt werden, dass sie auf jedem Intervall \( [n, n+1] \) mit \( n \in \mathbb{Z} \) die Form \( a x+b \) hat.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir helfen? Dankeschön

Comments

Wie wär's mit \(f(x)=\frac2\pi\arctan x\) ?

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Die Funktion kann so gewählt werden...

Merkwürdiger Hinweis, das macht es doch nur kompliziert?

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Warum wäre dann die Funktion mit arctan stetig und bijektiv? Danke

Answer 1

P (r|0) mit r∈ℝ wird auf P'(a|0) mit a∈(-1,1) abgebildet, indem vom Schnittpunkt der Geraden durch P und M(0|1) und den Kreis x²+(y-1)²=1 das Lot auf die x-Achse gefällt wird. Wenn (a|0) der Fußpunkt diese Lotes ist, dann ist f(r)=a.

Comments

Herzliches Dankeschön! Ist die gewollte Funktion, welche stetig und bijektov sein sollte, dann x2+(y-1)2=1?

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Stetigkeit und Bijektivität musst du noch beweisen. Ich garantiere nur, dass die von mir beschriebene Funktion von ℝ auf (-1,1) abbildet.

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Ist die gewollte Funktion, welche stetig und bijektov sein sollte, dann x²+(y-1)²=1?

Nein, das ist die Funktion des Kreises mit Mittelpunkt \(M(0|\,1)\). Wie Roland geschreiben hat, gilt es, das \(f\) von \(a=f(r)\) zu finden.

In der Kreisgleichung entspricht das \(x\) dem \(a\) und der Zusammenhang zwischen \(a\), \(r\) und \(y\) liefert der Strahlensatz$$\frac{y}{1} = \frac{r-a}{r}$$Einsetzen in die Kreisgleichung liefert das \(a=f(r)\)$$\begin{aligned} \implies a^2+\left(\frac{r-a}{r}-1\right)^2&=1 \\ a^2+\left(\frac{-a}{r}\right)^2&=1 \\ a^2\left(1+\frac{1}{r^2}\right) &= 1\\ a^2 &= \frac{r^2}{r^2+1} \\ a &=  \frac{r}{\sqrt{r^2+1}} \end{aligned}$$