Schubfachprinzip Verteilungsaufgabe. 7, 9 und 6 Punkte in Einheitskreis resp. Einheitsquadrat.

Question

Aufgabe: Schubfachprinzip

a) Zeigen Sie, dass es in jeder Menge von 7 Punkten aus einer Kreisscheibe mit dem Durchmesser 2 mindestens zwei Punkte gibt, deren Abstand höchstens 1 ist.

b) Zeigen Sie, dass es in jeder Menge von 9 Punkten aus einem Einheitsquadrat (Seitenliange 1) drei Punkte gibt, die ein Dreieck mit einer Fläche \( \leq \frac{1}{8} \) aufspannen.

c) Zeigen Sie, dass es in jeder Menge von 6 Punkten aus einem Einheitsquadrat zwei Punkte gibt, deren Abstand kleiner als \( \frac{2}{3} \) ist-ausnahmsweise braucht man hier einen Taschenrechner. Die Schranke \( \frac{2}{3} \) ist nicht scharf, man kann sie auf \( 0,6548 \ldots \) (und noch weiter) verbessern. Bei 5 Punkten kann man nur \( \frac{\sqrt{2}}{2}=0,707 \ldots \) garantieren.

Answer 1

2a) Du teilst den Kreis in 6 gleich große Teile (so wie einen Kuchen).
Nach dem Schubfachprinzip liegen dann in mindestens einem der entstandenen Kreisausschnitte mit Radius 1 zwei Punkte. Diese haben einen niedrigeren Abstand als 1.

b) Teile das Viereck mit einem Kreuz in vier Teile, jede mit der Seitenlänge 1/2. Verteilt man 9 Punkte auf 4 Schubfächer, dann liegen in mindestens einem Schubfach 3 Punkte.

Das maximale Dreieck erhält man nun, indem man die Eckpunkte des Quadrats wählt, dann hat das Dreieck die Fläche

A = (1/2*1/2)/2 = 1/8

Also ist jedes Dreieck flächenmäßig kleiner als 1/8.

 

Über c) denke ich momentan nach. Die Aufgabe mit 5 Punkten ist recht leicht zu zeigen, die mit 6 bereitet mir gerade Schwierigkeiten.