Was ist größer g oder u?..

Question

g sei die Anzahl der Möglichkeiten, 100 als Summe von vier positiven geraden Zahlen darzustellen. u sei die Anzahl der Möglichkeiten, 100 als Summe von vier positiven ungeraden Zahlen darzustellen. Was ist größer g oder u?

Comments

Hallo

sollen die Zahlen verschieden sein oder ist etwa 4 mal die 25 erlaubt?

lul

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4 Summanden 25 erfüllen die in der Aufgabe genannte Forderung, dass ihre Summe 100 ist. Was genau ist nicht klar formuliert?

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100 als Summe von vier positiven geraden Zahlen darzustellen.

Ich denke da automatisch an 4 verschiedene Zahlen.
Wenn jemand zu mir sagt "Nenne vier Zahlen, deren Summe 100 ergibt",
würde ich nie sagen: 25+25+25+25.

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Willst du deine individuellen Assoziationen zur Begründung des Vorwurfs einer unvollständigen Aufgabenstellung machen?

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Es ist kein Vorwurf, abér ich verstehe die Nachfrage von lul.

Ich wollte schon schreiben: Sicher meint er verschiedene Zahlen.

Gut, dass ich das gelassen habe.

Ich bin sicher, dass ich nicht der Einzige bin, der so assoziert. :)

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Wenn ich in der Formulierung meiner Frage alles berücksichtigen soll, was viele Leser (fälschlich) assoziieren könnten, wird die Frage nicht klarer.

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Hallo

Ich interpretiere die Antworten so, dass 4*25 ok ist, dann ist u deshalb größer.

lul

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lul, kannst du das auch begründen?

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Ich interpretiere die Antworten so, dass 4*25 ok ist, dann ist u deshalb größer.

Na schön - aber da wärest du uns geneigten Leserinnen und Lesern wohl doch noch eine Erklärung bzw. einen Beweis schuldig ....

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g hat keine Möglichkeit für 4 gleiche, alle anderen Möglichkeiten sind gleich

lul

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Statt 100 nehme ich mal eine kleinere Zahl, z,B. 8.

8=2+2+2+2  (1 Möglichkeit)

8=1+1+1+5

=1+1+3+3 (2 Möglichkeiten)

Hier ist u>g.

Nun mal mit 16:

16=2+2+2+10 → 8=1+1+1+5

=2+2+4+8

=2+2+6+6

=2+4+4+6

=4+4+4+4  → g=5

16=1+1+1+13  → 20=2+2+2+14 → 10=1+1+1+7

=1+1+3+11

=1+1+5+9

=1+1+7+7

=1+3+3+9

=1+3+5+7

=1+5+5+5

=3+3+3+7

=3+3+5+5 → u=9

 → u>g

Answer 1

Ich rechne es einfach mal aus:

Fall "gerade":

$100 = \sum_{i=1}^4 2k_i$ mit $k_i > 0$

$\Leftrightarrow 50 = \sum_{i=1}^4 k_i$ mit $k_i > 0$

$\stackrel{k_i=m_i + 1}{\Leftrightarrow} 50 = 4 + \sum_{i=1}^4 m_i$ mit $\color{blue}{m_i \geq 0}$

$\Leftrightarrow 46 = \sum_{i=1}^4 m_i$ mit $\color{blue}{m_i \geq 0}$

Das kann man z. Bsp. als Permutation mit Wiederholung beschreiben und erhält:

$$g = \binom{46+4-1}{4-1} = \binom{49}3$$

Fall "ungerade":

$100 = \sum_{i=1}^4 (2n_i+1)$ mit $\color{blue}{n_i \geq 0}$

$\Leftrightarrow 96 = \sum_{i=1}^4 2n_i$ mit $n_i \geq 0$

$\Leftrightarrow 48 = \sum_{i=1}^4 n_i$ mit $n_i \geq 0$

Das ergibt:

$$u= \binom{48+4-1}{4-1} = \binom{51}3$$

Damit ist $\boxed{u>g}$.

Answer 2

die Anzahl der Möglichkeiten, 100 als Summe von vier positiven geraden Zahlen darzustellen

ist genau so groß wie die Anzahl der Möglichkeiten, 50 als Summe von 4 natürlichen Zahlen (=ganze Zahlen >0) darzustellen.

die Anzahl der Möglichkeiten, 100 als Summe von vier positiven ungeraden Zahlen darzustellen.

ist genau so groß wie die Anzahl der Möglichkeiten, 96 als Summe von 4 positiven geraden Zahlen darzustellen

...

ist genau so groß wie die Anzahl der Möglichkeiten, 48 als Summe von 4 natürlichen Zahlen (=ganze Zahlen >0) darzustellen.

Noch Fragen?

Comments

Zu luls  alle anderen Möglichkeiten sind gleich :

u übersteigt g um mehr als 1, denn die Abbildung, die jedem Quadrupel (g1, g2, g3, g4) mit g1≤g2≤g3≤g4 und g1+g2+g3+g4 = 100 aus geraden Zahlen das Quadrupel (g1-1, g2-1, g3+1, g4+1) aus ungeraden Zahlen mit Summe 100 zuordnet, ist injektiv, aber weder (1, 1, 1, 97) noch (5, 7, 7, 81) liegen wegen g2-1 < g3+1 im Bild dieser Abbildung.

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Noch Fragen?

Ja : warum heißt es 96 und nicht 104 ?

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Ja : warum heißt es 96 und nicht 104 ?

Punkt für dich.

Answer 3

Wieder eine fast gleiche Aufgabe unter

https://www.spektrum.de/raetsel/existieren-mehr-oder-gleich-viele-mo…