Berechnung von unecht gebrochenenrationalen Funktionen. Bsp. fa = x² / ( x -b²)

Question

Geben die Funktion f_{a =} x² / ( x -b²), x ε R, b ε R, b > 0. Graph der Kurvenschar G_a

1. Bestimme f_a , bei der die Entfernung zwischen den beiden Extrempunkten 2√5  Längeneinheiten beträgt.

2. Der Graf G_1, die Geraden x = 2 und x = 4 sowie die x-Achse schließen eine Fläche vollständig ein.

Die Gerade g: y = x + 1 teilt diese Fläche in zwei Teilflächen mit Inhalt A1 und A2.  Ermittle Verhältnis A1 zu A2.

Answer 1

1. Bestimme f_a , bei der die Entfernung zwischen den beiden Extrempunkten 2√5  Längeneinheiten beträgt.

Wir müssen also zunächst die Extrempunkte bestimmen

f(x) = x² / (x - b²)

Zur Berechnung der Ableitung sollte ich erstmal eine Polinomdivision machen.

f(x) = x + b² + b⁴/(x - b²)

f '(x) = 1 - b⁴/(x - b²)² = 0

x1 = 2·b² und x2 = 0

Jetzt bestimme ich noch die Funktionswerte an den Stellen

f(0) = 0

f(2·b²) = 4·b²

Der Abstand d ist jetzt 

√((x1 - x2)² + (y1 - y2)²) = √((2·b²)² + (4·b²)²) = 2·√5·b²

Wenn der Abstand jetzt 2·√5 sein soll muss b also 1 sein.

Comments

 

2. Der Graf G_1, die Geraden x = 2 und x = 4 sowie die x-Achse schließen eine Fläche vollständig ein.

Die Gerade g: y = x + 1 teilt diese Fläche in zwei Teilflächen mit Inhalt A1 und A2.  Ermittle Verhältnis A1 zu A2.

f(x) = x + 1 + 1/(x - 1)

Skizze:

 

f(x) = x + 1 + 1/(x - 1)
F(x) = x²/2 + x + ln(x - 1)

A1 + A2 = F(2) - F(0) = LN(3) + 8

A2 = (3 + 5)/2 * 2 = 8

A1 = ln(3) + 8 - 8 = ln(3)

Das Verhältnis aus A1 und A2 beträgt also:

A1 : A2 = ln(3) : 8