Untersuche, ob die Verknüpfungen kommutativ oder assoziativ sind.

Question

brauche eure Hilfe

Logikaufgaben für schlaue Köpfe :) wer schafft das? Wer ist der erste?

Es bezeichne im Folgenden $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\text{ bzw. }\mathbb{ C}$ wie üblich die Menge der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen.
Aufgabe $1 .$ Wir betrachten die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen mit den folgenden Verknüpfungen:
(i) $x * y:=y$ für $x, y \in \mathbb{R}$
(ii) $x * y:=x+y+x \cdot y$ für $x, y \in \mathbb{R}$
(iii) $x * y:=x-y$ für $x, y \in \mathbb{R}$
(iv) $x * y:=x+y-1$ für $x, y \in \mathbb{R}$
Man untersuche für die Operationen definiert in (i) - (iv), ob sie kommutativ oder assoziativ sind. Beziüglich welcher Operation ist $(\mathbb{R}, *)$ eine Gruppe?
Aufgabe 2. Es sei $(G, *)$ eine Gruppe mit neutralem Element e. Für alle $x \in G$ gelte
$x*x=e$
Zeigen Sie, dass $G$ abelsch (kommutativ) ist.

Answer 1

(i) x*y = y ist nicht kommutativ.

2*3 = 3 aber 3*2 =2.

x*y ist assoziativ:

(2*3)*5 = 3*5 = 5

2*(3*5) = 2*5 = 5

Allgemein

(a*b)*c = b*c = c

a*(b*c) = b*c = c

(II) bis (iv) analog.

2. Aufgabe

(a*b)*(a*b) = e              | Mult. von rechts mit b

(a*b)*(a*b)*b  = e*b = b | *a

(a*b)*(a*b)*b*a = b*a        | Assoziativgesetz links

(a*b)*a*(b*b)*a = b*a       | b*b = e

(a*b)*a*e*a = b*a          | a*e = a

(a*b)*a*a = b*a       | a*a = e

(a*b) *e = b*a         | e neutrales element

a*b = b*a

qed. (kommutativ)

Answer 2

z.B.              x*y=y

Prüfe kommutativ:   Es müsste gelten   a*b    =   b*a
 d.h.                                                                     b  =   a
also nicht für alle a,b gleiches Ergebnis, also nicht komm.
assoziativ:
                           Es müsste gelten    (a*b)*c    =    a* (b*c)
                                                                   b  *  c    =   a * c
                                                                        c       =    c

Auf beiden Seiten gleiches Ergebnis, also assoziativ!

Answer 3

die Aufgabe 1 lässt sich auf das Nachrechnen der Eigenschaften reduzieren.

Für die Kommutativität prüfe ob für beliebige $x,y \in \mathbb{R}$ gilt

$$x*y = y*x$$

Für die Assoziativität prüfe ob für beliebige $x,y,z \in \mathbb{R}$ gilt

$$x*(y*z) = (x*y)*z$$

Sobald eine Verknüpfung assoziativ ist, prüfe ob $(\mathbb{R},*)$ eine Gruppe ist in dem du die restlichen Gruppeneigenschaften überprüfst.

zu Aufgabe 2:

Versuch es mit dem Hinweis: $(x*y)^{-1} = y*x$, was du natürlich zuerst zeigen müsstest.

zu deinen eigentlichen Fragen:

1) Diese Aufgabe schafft ein Großteil der Leute die hier regelmäßig Antworten geben.

2) Da ich keine Komplettlösung gepostet habe, bin ich offensichtlich nicht der Erste.

Gruß