Funktionsgleichung einer Parabel Mithilfe der Nullstellen berechnen

Question

ich habe die Nullstelle 0 und 73 und den Scheitelpunkt 36. Nun soll ich die Funktionsgleichung berechnen aber wie? Habe mein Formelheft verloren also weiß ich nicht wie und wo ich anfangen soll :( Vielen dank für eure Hilfe

Comments

Betrachte mal den Abschnitt "Nullstellen bei f(x) = ax² + bx (kein konstantes Glied)"

hier: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Das könnte schon mal ein Stück weit helfen.

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Der erwartete Lösungsweg ist abhängig von der Klassenstufe ... welche Klasse bist Du ?

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Klasse 9. Du würdest mir wirklich sehr helfen. Ich bin seit 1 Stunde am verzweifeln :(. Also Nullstelle (0/0) und (73/0) und Scheitelpunkt (36,5/36)

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Das hast Du Dir doch vor wenigen Minuten gerade in einem anderem Forum vorrechnen lassen ....

und dort bestätigt, dass du die Aufgabe gelöst hast ...

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Doch nicht :D. Kommt ständig etwas komisches raus xd. Die Aufgabe bringt mich wirklich an meine Grenzen  xd. Kann auch an der Müdigkeit liegen ^^

Answer 1

Durch die Nullstellen weißt Du schon mal f(x) = a•(x-0)•(x-73)

Und durch den Hochpunkt bekommst Du a raus.

Answer 2

Ich glaube da stimmt was  nicht. Wenn die Nullstellen bei $x_0 = 0$ und $x_1 = 73$ liegen sollen, liegt der Scheitelpunkt bei $x_S = \frac{x_0 + x_1}{2} = 36.5$ und nicht bei $x_S = 36$, weil die Parabel symmetrisch um den Scheitelpunkt ist.

Comments

Keine Ahnung xd. Diese Werte habe wir halt bekommen xd. Eigentlich sollen wir die Funktionsgleichung für den Berliner Bogen aus Hamburg berechnen. Dabei dürfen wir das Koordinatensystem so anlegen, dass es am einfachsten ist eine quadratische Gleichung aufzustellen. Die länge beträgt 73m und die höhste Stelle 36m

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Ja das ist ja auch was ganz anderes. Der Scheitelpunkt liegt nicht bei $x_s = 36$, sondern am Scheitelpunkt wird die Höhe 36 angenommen, also $f(x_s) = 36$

Setzte $f(x) = ax(x-73)$ und bestimme $a$ aus $f(36.5) = 36$

Dann folgt $a \approx -0.027$

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Wow, weiß zwar nicht wie du darauf gekommen bist aber dein Ergebnis ist korrekt Vielen lieben Dank.

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Eine Parabel hat drei Parameter. Je nachdem wie man die Parabel schreibt sieht das so aus:

$$(1) \quad f(x) = ax^2+bx+c \quad \text{ Normalform }$$

$$(2) \quad f(x) = a(x-x_0)(x-x_1) \quad \text{ Nullstellenform}$$

$$(3) \quad f(x) = a(x-x_0)^2+y_0 \quad \text{ Scheitelpunktform}$$

Ich habe die Form (2) gewählt, weil die Nullstellen $x_0 = 0$ und $x_1 = 73$ bekannt sind. Damit muss nur noch $a$ berechnet werden. Wenn man (2) differenziert, Null setzt und nach $x$ auflöst, erhält man

$$f'(x) = a(x-x_1)+a(x-x_0) = a(2x-x_0-x_1) = 0$$ und daraus folgt $$x = \frac{x_0+x_1}{2}$$ D.h. der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen Nullstellen, hier $x_s = \frac{0+73}{2} = 36.5$, und am Scheitelpunkt ist die Höhe $y = 36$ also gilt

$f(x_s) = a(x_s-x_0)(x_s-x_1) = a\cdot 36.5 \cdot (36.5 - 73) = 36$ also $$a = \frac{36}{36.5 \cdot (36.5 - 73)} \approx -0.027$$

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So geht es etwas schneller:

$$(4) \quad f(x) = \frac{y_p-y_s}{(x_p-x_s)^2} \cdot (x-x_s)^2+y_s \quad \text{ "Punkt-Scheitel-Form"}$$

Einsetzen ergibt dann:

$$f(x) = \frac{0-36}{(0-36.5)^2} \cdot (x-36.5)^2+36 = -\frac{36}{36.5^2} \cdot (x-36.5)^2+36$$

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Noch schneller
f ( x ) = a * ( x - 0 ) * ( x - 73 )
f ( 36.5 ) = a * ( 36.5 - 0 ) * ( 36.5 - 73 ) = 36
a * 36.5 * (-36.5) = 36
a = -0.027

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"Noch schneller"? Das wurde schon in (2) erwähnt und ist keineswegs "noch schneller".

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In der Lösung unter (2) differenziert ??? ullim zunächst einmal um dann
zur Erkenntnis zu gelangen das die x = Stelle des Scheitelpunkts wohl
in der Mitte der beiden Nullstellen ist. Sehe ich das richtig ?
Das ist immer so und nichts Neues.

Deshalb habe ich mir diesen Teil  der Berechungen gespart.

Answer 3

AFAP - As fast as possible

Aus der Aufgabe entnimmt man P(0 | 0) S(36.5 | 36)

Öffungsfaktor bestimmen

a = Δy / (Δx)² = (Py - Sy) / (Px - Sx)² = (0 - 36) / (0 - 36.5)² = - 144/5329

Damit Scheitelpunktform oder Nullstellenform aufstellen

f(x) = a * (x - Sx)² + Sy = - 144/5329 * (x - 36.5)² + 36

f(x) = a * (x - N1) * (x - N2) = - 144/5329 * (x - 0) * (x - 73)

Auf Wunsch kann man noch ausmultiplizieren