Berechnen Sie den Grenzwert der Folge

Question

$$an=\frac { { n }^{ 2n } }{ { (n+1) }^{ n }{ (n+2) }^{ n } } $$

wie müsste ich bei einer Folge wie dieser heran gehen ?

im Nenner sieht es stark nach dem Binomischen Lehrsatz aus, aber wie könnte ich den Nenner umformen um auf einen Grenzwert zu kommen ?

Comments

Vielleicht geht es so einfacher:
$$ a_n = \frac { { n }^{ 2n } }{ { (n+1) }^{ n }{ (n+2) }^{ n } } = \left(\frac { { n }^{ 2 } }{ { (n+1) }{ (n+2) } }\right) ^n $$

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ich finde die Idee die Gleichung zu vereinfachen sehr gut, ich habe mal probiert denn Grenzwert damit zu berechnen, würde das so funktionieren...

(n²/(n+1)(n+2))ⁿ

= ((n²/(n²+2n+n+2))²

=(n²/n²+3n+2)ⁿ

=((n²*1)/n²(1+3/n+2/n²))ⁿ

= (lim n-> ∞ 1/(1+3/n+2/n²))ⁿ

=(1/1)ⁿ

⁼¹

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Nein, das ist so nicht richtig.
Im Ergebnis kommt übrigens \(\text{e}^{-3}\) heraus.

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wie kommst du auf den Grenzwert e^-3 ?

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ich konnte deiner Aufgabe bis zum l'hospital folgen, wir haben den l'hospital noch nicht in den Vorlesungen bewiesen und ich wusste jetzt auch nicht wie man den richtig anwendet.

Also muss es doch noch einen anderen weg geben den Grenzwert dieser Folge zu berechnen....

Answer 1

lim (n → ∞) (n²/((n + 1)·(n + 2)))ⁿ

lim (n → ∞) EXP(LN((n²/((n + 1)·(n + 2)))ⁿ))

lim (n → ∞) EXP(n·LN(n²/((n + 1)·(n + 2))))

Kümmern wir uns nur mal um den Grenzwert des Exponenten der e-Funktion

lim (n → ∞) n·LN(n²/((n + 1)·(n + 2)))

lim (n → ∞) LN(n²/((n + 1)·(n + 2))) / (1/n)

L'Hospital

lim (n → ∞) ((3·n + 4)/(n·(n + 1)·(n + 2))) / (- 1/n²)

lim (n → ∞) - 3·n² + 4·n/(n² + 3·n + 2) = -3

Daher ist nun

lim (n → ∞) EXP(n·LN(n²/((n + 1)·(n + 2)))) = EXP(-3) = 1/e³

Comments

Ich meine du hast die Ausgangsgleichung falsch übernommen
anstelle
lim (n → ∞) n² /((n + 1)·(n + 2))ⁿ
muß es heißen
lim (n → ∞)  n⁽²ⁿ⁾ /((n + 1)·(n + 2))ⁿ

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Ich wollte das hoch n ausklammern. Irgendwas hat aber die Klammern gefressen. Ab der 3. Zeile ist es richtig.

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ich konnte deiner Aufgabe bis zum l'hospital folgen, wir haben den l'hospital noch nicht in den Vorlesungen bewiesen und ich wusste jetzt auch nicht wie man den richtig anwendet.

Also muss es doch noch einen anderen weg geben den Grenzwert dieser Folge zu berechnen....

Answer 2

wie kommst du auf e^-3 ?

Comments

Ich komme darauf nach obiger Rechnung. Welche Zeile verstehst du nicht ?

Am besten schreibst du die Zeile hin die du nicht verstehst.

Probier es selber nachzuvollziehen. D.h. setzt dich an die erste Zeile und schaue was ich da gemacht habe. Hast du das verstanden dann gehe an die nächste Zeile und versuche nachzuvollziehen was gemacht worden ist und schau ob du das verstehst.

PS: Einfach nur ansehen hilft weniger als wenn man sich echt mal mit Papier und Bleistift hinsetzt und es versucht nachzuvollziehen.

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ich hätte einen einfacheren Lösungsweg für diese Aufgabe ohne L'hospital:

an = n²ⁿ/(n+1)ⁿ(n+2)ⁿ

=(n²/(n+1)(n+2))ⁿ

= (n²/n*(1+1/n)n(1+1/n))ⁿ

=lim n ->∞(1ⁿ/(1+1/n)ⁿ(1+2/n)ⁿ

-> 1/e¹*e² = 1/e³

ist mein Rechenweg korrekt ?

Answer 3

es wird kein L'Hospital benötigt

$$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(n+1)^n(n+2)^n} = \lim \limits_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \left(\frac{n}{n+2} \right)^n \\= ... = \exp(-1) \cdot \exp(-2) = ...$$

Gruß